INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA APM

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA. ÍNDICE Historia de la Trigonometría. Grados sexagesimales y radianes. Seno de un ángulo agudo. Coseno de un ángulo agudo. Tangente de un ángulo agudo. Ampliación del concepto de ángulo. Relaciones entre las razones trigonométricas. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Signos de las razones trigonométricas en los distintos cuadrantes. Razones trigonométricas de ángulos suplementarios. Razones trigonométricas de ángulos que difieren en 180º. Razones trigonométricas de ángulos opuestos. Razones trigonométricas de ángulos complementarios. Razones trigonométricas de 0º. Razones trigonométricas de 90º. Razones trigonométricas de 180º. Razones trigonométricas de 270º. Resolución de triángulos rectángulos. Ejemplo de resolución de triángulo rectángulo. Resolución de triángulos no rectángulos. Ejemplo. Funciones trigonométricas. Función seno. Función coseno. Función tangente.

HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA La Trigonometría es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de las relaciones que existen entre los ángulos y los lados de un triángulo. Estas relaciones se aplican para resolver muchas situaciones de la vida cotidiana. La Trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es “la medición de los triángulos”. Se deriva del vocablo griego: τριγωνο <trigōno> “triángulo” + μετρον <metron> “medida”. Si quieres saber más sobre la historia y aparición de la Trigonometría, puedes acceder a la presentación titulada: HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA.

GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES La longitud de una circunferencia es de 2πR. Tomando como unidad de medida el radio o lo que es lo mismo, Radio = 1, un arco completo de circunferencia mide 2π radios. Por tanto: 90º =π /2 rad 1 radián = 180º/π = 57º 17' 44,81'' N grados = Nπ/ 180 radianes n radianes = 180n / πgrados 0º 180º =π rad 360º =2π rad 270º = 3π/2 rad

SENO DE UN ÁNGULO AGUDO Si la hipotenusa mide 1, la medida del cateto opuesto al ángulo B, se llama “seno de B”. Se simboliza sen B. Por semejanza de triángulos se tiene que: El seno de un ángulo B es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa.

COSENO DE UN ÁNGULO AGUDO Si la hipotenusa mide 1, la medida del cateto contiguo al ángulo B, se llama “coseno de B”. Se simboliza cos B. Por semejanza de triángulos se tiene que: El coseno de un ángulo B es igual al cateto contiguo dividido por la hipotenusa.

TANGENTE DE UN ÁNGULO AGUDO Como ABC y SBT son semejantes: Si la hipotenusa mide 1, la medida segmento ST, se llama “tangente de B”. Se simboliza tan B. Por semejanza de triángulos se tiene que: La tangente de un ángulo B es igual al cateto opuesto dividido por el cateto contiguo.

AMPLIACIÓN DEL CONCEPTO ÁNGULO Sentido positivo Ángulo reducido de un ángulo es el ángulo menor que 360º definido por su misma posición Sentido negativo = 405º El ángulo reducido de 405º es el de 45º = –105º Origen de medida de ángulos

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Aplicando el Teorema de Pitágoras: (sen α )2 + (cos α)2 = sen2 α + cos2 α = 1 Dividiendo en la relación anterior por cos2 

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Dividiendo por tenemos:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA  y x r

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS DISTINTOS CUADRANTES r = 1 u. sen  Sen α r = 1 u. α  0º 90º = /2 rad 180º = π rad 270º =3π /2 rad 360º = 2π rad cos  Cos α I II (- ,+) (+,+) (-,-) (+,-) III IV α α Cos α Cos α Sen α r = 1 u. r = 1 u. sen  Signos del (coseno, seno) en cada cuadrante

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Si un ángulo mide α su suplementario mide 180º – α. 1 180º – α sen (180º – α) = sen α 1 y y α cos (180º – α) = – cos α –x x tan (180º – α) = – tan α

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º Si dos ángulos difieren en 180º y uno mide α el otro mide 180º + α 180º + α sen (180º + α) = – sen α 1 y α cos (180º + α) = – cos α –x x 1 –y tan (180º + α) = tan α

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS Si dos ángulos son opuestos y uno mide α el otro mide – α 1 Sen (– α) = sen(360º – α) = – sen α y α –α Cos (– α) = cos(360º – α cos α x –y 1 tan (– α) = tan (360º – α) = – tan α

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Si un ángulo mide αsu complementario mide 90º – α A B C sen (90º – α) = AC / AB = cos α 90º - α cos (90º – α) = BC / AB = sen α tan (90º – α) = 1 / tan α α

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º = 0 rad sen 0º = 0 cos 0º=1 0º = 0 rad

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 90º = rad r=1 sen 90º = 1 cos 90º = 0

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE sen 180º = 0 cos 180º=-1 180º = rad r=1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE cos 270º =0 sen 270º =-1 r=1 270º =

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 90º RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS A Resolver un triángulo es calcular todos los elementos del mismo (lados y ángulos) a partir de algunos de ellos. b c C B a Fórmulas necesarias para resolver un triángulo rectángulo A + B + C = 180º  B + C = 90º Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2 b a senB   c a cosB   b c tanB  

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. EJEMPLO Vamos a calcular el lado b. Vamos a calcular el lado c.  Podemos hacerlo por el teorema de Pitágoras o por razones trigonométricas. Hagámoslo de las dos formas para comprobar que da el mismo resultado. PRIMERA FORMA: Teorema de Pitágoras. SEGUNDA FORMA: Razones trigonométricas.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS. EJEMPLO Pueden resolverse triángulos no rectángulos aplicando correctamente las razones trigonométricas. Veamos un ejemplo. Se trata de calcular la altura h del triángulo de color rosa. Consideramos el triángulo rectángulo grande. Entonces: Si consideramos el triángulo rectángulo pequeño, entonces: Ahora debemos resolver el sistema de ecuaciones por igualación. Por tanto:

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN SENO A cada ángulo podemos asociarle el valor de cada una de sus razones trigonométricas. Se definen así las funciones trigonométricas. La función seno (sen x) asocia a cada valor de x el valor de sen x. La imagen siguiente muestra inicialmente la función sen x. Se han puesto los valores de x en radianes. Haz clic en el enlace y construye la función seno de forma interactiva. FUNCIÓN SENO

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN COSENO La función coseno (cos x) asocia a cada valor de x el valor de cos x. La imagen siguiente muestra inicialmente la función cos x. Se han puesto los valores de x en radianes. Haz clic en el enlace y construye la función coseno de forma interactiva. FUNCIÓN COSENO  

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN TANGENTE La función tangente (tg x) asocia a cada valor de x el valor de tg x. La imagen siguiente muestra inicialmente la función tg x. Se han puesto los valores de x en radianes. Haz clic en el enlace y construye la función coseno de forma interactiva. FUNCIÓN TANGENTE  

ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO. HASTA PRONTO, CHAVALES. ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO. COMPROBAD VUESTRO APRENDIZAJE CON LAS ACTIVIDADES QUE APARECEN EN LA PÁGINA WEB. ¡¡¡¡ ADIOS !!!!