Matemáticas Acceso a CFGS PARÁBOLA Bloque II * Tema 076 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS LA PARÁBOLA LA PARÁBOLA La parábola es el lugar geométrico del conjunto de puntos cuya distancia a una recta llamada DIRECTRIZ es igual a la distancia a un punto fijo llamado FOCO. PD = PF Elementos Eje de simetría: Eje OY Parámetro: p = distancia entre el foco y la directriz. Directriz: y = - p/2 Foco: F(0, p/2) Vértice: V(0, 0) Radio vector: PF Excentricidad: e = PF/d(P, d) = 1 Y P(x, y) F p/2 X V d p/2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS ECUACIÓN REDUCIDA ECUACIÓN REDUCIDA Aplicando la definición: d(P, F) = d(P, d) Y P(x, y) F Elevando todo al cuadrado: p/2 X V Y simplificando, queda: d p/2 Que es la ECUACIÓN REDUCIDA @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicios Hallar la ecuación de la parábola cuyos datos conocidos son: 1º.- Foco: F(0, 4) ,, Directriz d: y = - 4 Vértice: V(0, (4-4)/2) ,, V(0,0) Parámetro: p = 4-(-4)=8 Ecuación: x2 = 2py ,, x2 = 16y ,, y = x2 /16 Cóncava 2º.- Foco: F(0, 0,25) ,, Directriz d: y = - 0,25 Vértice: V(0, (0,25-0,25)/2) ,, V(0,0) Parámetro: p = 0,25-(-0,25)= 0,5 Ecuación: x2 = 2py ,, x2 = y ,, y = x2 Cóncava 3º.- Foco: F(0, -3) ,, Directriz d: y = 3 Vértice: V(0, (3-3)/2) ,, V(0,0) Parámetro: p = 3-(-3)=6 Ecuación: x2 = - 2py ,, x2 = - 12y ,, y = - x2 /12 Convexa @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS ECUACIÓN GENERAL ECUACIÓN GENERAL Lo general es que el vértice de la parábola no sea el V(0, 0) sino un punto cualquiera V(k, h) Y La fórmula quedaría: P(x, y) F p/2 V(k, h) d p/2 X Que es la llamada ECUACIÓN GENERAL DESARROLLADA O @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicios Hallar la ecuación de la parábola cuyos datos conocidos son: 4º.- Foco: F(-1, 3) ,, Directriz d: y = - 1 Vértice: V(k, h) ,, V(-1, (3+1)/2) ,, V(-1, 2) Parámetro: p = 3 -(-1)= 4 Ecuación: (x – k)2 = 2p(y – h) ,, (x + 1)2 = 8(y – 2) x2 + 2x + 1 = 8y – 16 ,, x2 + 2x – 8y + 17 = 0 5º.- Foco: F(3, 5) ,, Directriz d: y = 2 Vértice: V(k, h) ,, V(3, (5-2)/2) ,, V(3, 1,5) Parámetro: p = 5 – 2 = 3 Ecuación: (x – k)2 = 2p(y – h) ,, (x – 3)2 = 6(y – 1,5) x2 – 6x + 9 = 6y – 9 ,, x2 – 6x – 6y + 18 = 0 6º.- Foco: F(0, -3) ,, Directriz d: y = 5 Vértice: V(k, h) ,, V(0, (5 – 3)/2) ,, V(0, 1) Parámetro: p = 5-(-3)=8 Ecuación: (x – k)2 = – 2p(y – h) ,, x2 = – 16.(y – 1) x2 = – 16y + 16 ,, x2 + 16 y – 16 = 0 Convexa @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicios Hallar el foco, vértice y directriz de las parábolas siguientes: Ecuación general cóncava: x2 – 2kx – 2py + k2 + 2ph = 0 7º.- P: x2 – x – 3y + 7 = 0 Identificando términos, tenemos: 2k=1  k=1/2 ,, 2p = 3  p = 3/2 = 1,5 k2 + 2ph = 7  0,25 + 3 h = 7 ,, h = (7 – 0,25)/ 3 = 6,75/3 = 2,25 V(0’5, 2’25) ,, p = 1’5 ,, d: y = h – p/2 = 2,25 – 0,75 = 1,5 ,, F(0’25, 3) 8º.- P: x2 – 4x + 4y = 0 2k=4  k=2 ,, 2p = – 4  p = – 2  p = 2, pero es convexa El parámetro p es una distancia. Si da negativo, la parábola es convexa. k2 + 2ph = 0  4 + 4h = 0 ,, h = – 1  V(2 , – 1) d: y = h + p/2 = – 1 + 1 = 0 ,, d: y = 0 F(2, h – p/2)  F(2, – 1 – 1 ),, F(2 , –2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Otras ecuaciones Y Y d p/2 d p/2 F X X V p/2 V F Y d X V F @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS