Curso de: Matemáticas de Apoyo Geometría Analítica Instructor: Dra. María Esther Treviño Martínez

Coordenadas Rectangulares

Distancia entre dos puntos

Punto medio

Pendiente de una recta Si 2 rectas son paralelas sus pendientes son iguales Si 2 rectas son perpendiculares la pendiente de una será el recíproco de la otra con el signo contrario

Formas de la ecuación de una recta Línea Recta Representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables. Formas de la ecuación de una recta a) PUNTO-PENDIENTE Recta que pasa por el punto P1(x1, y1) y cuya pendiente sea m b) PENDIENTE-ORDENADA EN EL ORIGEN Recta de pendiente m que corta al eje en y en el punto P1(0, b) y cuya

Formas de la ecuación de una recta Línea Recta Formas de la ecuación de una recta c) CARTESIANA Recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) d) REDUCIDA O ABSCISA Y ORDENADA EN EL ORIGEN Recta que corta a los ejes x y y en los puntos (a, 0) y (0, b)

Formas de la ecuación de una recta Línea Recta Formas de la ecuación de una recta e) GENERAL Ecuación lineal o de primer grado

Formas de la ecuación de una recta Línea Recta Formas de la ecuación de una recta f) NORMAL Recta que queda determinada si se conoce la longitud de la perpendicular a ella trazada desde el origen (0, 0) y el ángulo que forma dicha perpendicular con el eje x. La distancia p positiva a cualquier valor del ángulo w .

Reducción de la forma general a la normal Línea Recta Reducción de la forma general a la normal

Distancia de un punto a una recta Ecuación para L: Ecuación para L1:

Secciones Cónicas El lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto y una recta fijos es constante se define como cónica o sección cónica. El punto fijo se llama foco. La recta fija se llama directriz. La relación constante se llama excentricidad.

Secciones Cónicas Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola (A), elipse y círculo (B) e hipérbola (C).

Secciones Cónicas

Valores de la excentricidad en secciones cónicas: Excentricidad: en matemáticas, geometría, astronomía y otras ciencias exactas, es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia. Valores de la excentricidad en secciones cónicas: Circunferencia e = 0 Elipse 0 < e < 1 Parábola e = 1 Hipérbola e > 1

Circunferencia Es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. La ecuación queda completamente determinada si se conoce el centro y el radio Ecuación una circunferencia con centro en el origen y radio r Ecuación una circunferencia de centro (h,k) y radio r

Circunferencia Ecuación general de una circunferencia Reordenando Completando cuadrados Se tiene la ecuación Con centro en el punto y radio igual a

Dados tres puntos cualesquiera no alineados, existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos (esta circunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estos puntos). Dados tres puntos no alineados en el plano cartesiano                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          , la ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por la determinante matricial:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            Circunferencia La circunferencia es real si: La circunferencia es imaginaria si: La circunferencia representa un punto si:

Circunferencia diámetro Diámetro: es el segmento de mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia; la longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia; la cuerda de longitud máxima es el diámetro. Secante: es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos. Tangente: es recta que toca a la circunferencia en un sólo punto.

Parábola Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo (foco).

Parábola Elevando al cuadrado Simplificando Si el foco pertenece al eje y Si el foco está a la izquierda de la directriz Elevando al cuadrado Simplificando

Parábola Si el vértice de la parábola tiene coordenadas (h,k), de eje paralelo al eje de las x y foco a la derecha del vértice a una distancia a

Parábola Excentricidad Latus rectum

Elipse Una elipse es un lugar geométrico de los puntos (x, y) de un plano, que tienen la propiedad de que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F1 y F2 ), es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor AB de la elipse.

Elipse Eje mayor = 2a Eje menor = 2b Distancia focal = 2c

Elipse Elevando al cuadrado y reduciendo términos Haciendo que Dividiendo por Elevando al cuadrado y reduciendo términos Elevando al cuadrado y simplificando

Elipse Ecuación de la elipse con centro en el origen y focos en el eje de las x Ecuación de la elipse con centro en el origen y focos en el eje de las y

Elipse Excentricidad Latus rectum Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje y

Elipse Si el centro de la elipse tiene coordenadas (h,k) y eje transversal paralelo al eje x Si el centro de la elipse tiene coordenadas (h,k) y eje transversal paralelo al eje y Ecuación general de una elipse siempre que A y B del mismo signo

Hipérbola Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos (x , y) de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F1 y F2 ), es constante e igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Hipérbola C: punto central de la hipérbola donde se cruzan las asíntotas. Eje transversal: línea que une los puntos focales (F1 y F2). a : distancia del vértice al centro sobre el eje transversal. Eje conjugado: línea perpendicular al eje transversal de distancia 2b. b: punto de corte del eje conjugado con la circunferencia de centro a y radio c. Directrices, D1 y D2 : líneas paralelas al eje conjugado. Latus rectum: cuerda que pasa por el foco en forma paralela a la directriz.

Hipérbola Por definición

Hipérbola Elevando al cuadrado y reduciendo términos Dividiendo por Haciendo que Elevando al cuadrado y reduciendo términos Elevando al cuadrado y simplificando

Hipérbola Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las x Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las y Ecuación general de una hipérbola con centro en el origen y focos sobre los ejes de coordenadas

Hipérbola Excentricidad Latus rectum Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x y cuando están sobre el eje y Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x y cuando el eje transversal es el eje y

Hipérbola Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversal paralelo al eje x Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversal paralelo al eje y Ecuación general de una hipérbola con centro en las coordenadas (h,k) y ejes paralelos a los de las coordenadas x y y, siendo A y B del mismo signo

Hipérbola Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x y cuando el eje transversal es el eje y Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola con centro en las coordenadas (h,k) para cuando el eje transversal es el eje x y cuando el eje transversal es el eje y