TANGENCIAS Construcciones básicas 1

CONTENIDO 1.- Posiciones relativas. 2.- Propiedades. 3.- Rectas tangentes a circunferencias. 4.- Circunferencias tangentes a circunferencias. 5.- Circunferencias tangentes a rectas. 6.- Circunferencias tangentes comunes a una circunferencia y a una recta. 7.- Enlaces. 8.- Aplicaciones 2

POSICIONES RELATIVAS: 1.2.- Entre dos circunferencias Interiores Exteriores Tangentes interiores Secantes Concéntricas Tangentes exteriores R R1 R+R1 R-R1 1.1.- Entre recta y circunferencia r O Exteriores Secantes Tangentes 3

2. PROPIEDADES Una recta y una circunferencia, o dos circunferencias, son tangentes entre sí cuando tienen un solo punto en común, llamado punto de tangencia O t Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la recta T R 90º O1 O2 T Si dos circunferencias son tangentes, el punto de contacto se encuentra en la recta que une los centros. O A B Med. El centro de cualquier circunferencia que pase por dos puntos está en la mediatriz del segmento que los une. O V T Bisec. El centro de cualquier circunferencia tangente a dos rectas se encuentra en la bisectriz del ángulo que forman. 4

t 3. RECTAS TANGENTES A CIRCUNFERENCIAS 3.1.- Recta tangente a una circunferencia en un punto T . 3.2.- Rectas tangentes a la circunferencia paralelas a una dirección d 90º t d O O T t1 90º T1 t2 1 2 T2 3.4.- Trazado de la tangente a un arco de circunferencia en un punto T, si no conocemos el centro del arco. 3.3.- Rectas tangentes a la circunferencia desde un punto exterior P. t1 T1 O P M a t2 a T2 R=T2 5

3.5.- Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias. B M R2-R1 T3 3.6.- Rectas tangentes interiores a dos circunferencias. T4 A B R2 O2 R1 O1 T2 T3 M R1+R2 T1 T4 6

4. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A CIRCUNFERENCIAS 4.1.- Circunferencias de radio R tangentes a una circunferencia de centro O, por un punto T de la misma. 4.3.- Circunferencias de radio R, tangentes a una circunferencia de centro O que pasan por un punto exterior P O R T R R+Ro (R-Ro)? O1 P O R O2 R+Ro 4.2.- Circunferencia tangente a otra, en un punto T y que pasa por un punto exterior P T1 O1 O T P T2 R O2 O1 7

4.5.- Trazar las circunferencias de radio R tangentes interiores a dos circunferencias C y D 4.4.- Representar las circunferencias de radio R tangentes exteriores a dos circunferencias C y D R C D R C D R+RD O1 R-RD O1 O2 T1 T2 T R+RC R-RC T4 T3 T O2 8

4.6.- Dibujar las circunferencias de radio R tangentes a dos circunferencias, exterior a una e interior a otra . R C D R+Rc O1 R-RD T4 T1 T2 T3 O2 9

5. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A RECTAS 5.1.- Circunferencias de radio R tangentes a una recta r, por un punto T de ella. 5.2.- Circunferencias de radio R tangentes a una recta s y que pasan por un punto P. r T R R s P R O2 90 R O1 O2 R O1 90º T1 T2 5.3.- Circunferencias de radio R tangentes a dos rectas p y q que se cortan R p q T1 Med. O1 90º R T2 10

P 5.4.- Circunferencia que pasa por un punto P y es tangente a una recta r en un punto T de ella. 5.5.- Circunferencias tangentes a dos rectas r y s, conocido el punto T de tangencia en una de ellas r T P Med. T s r O 90º O2 O1 1 2 3 T2 T1 11

6.1.- Representar las circunferencias de radio 6. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES COMUNES A UNA CIRCUNFERENCIA Y A UNA RECTA 6.1.- Representar las circunferencias de radio R, tangentes comunes a la circunferencia O y a la recta r. 6.2.- Dibujar las circunferencias tangentes comunes a la circunferencia O y a la recta r, con un punto de tangencia T sobre la recta. R + RO (R – RO)? R + RO O2 O r O r T T1 T2 Med 2-O O1 O2 T1 T2 R Med 1-O O1 1 2 T3 T4 RO 12

6.3.- Trazar las circunferencias tangentes comunes a la circunferencia O y a la recta r, con un punto de tangencia T sobre la circunferencia O2 Tangente O r T O1 1 2 3 T2 M T1 13

r s 7. ENLACES 7.1.- Enlazar dos rectas paralelas mediante un arco de circunferencia 7.2.- Enlazar dos rectas secantes mediante un arco de radio R. R r s r s B 90 R T 90 O O 90 R A T 14

7.4.- Enlazar dos rectas paralelas p y q mediante dos arcos de igual radio, conociendo los puntos de tangencia P y Q. 7.3.- Enlazar dos rectas perpendiculares mediante un arco de circunferencia R P P Q p q O2 T1 T2 O M R 01 15

conocido el radio R de uno de ellos. 7.5.- Enlazar una recta t y un arco de circunferencia de centro O y radio R, por medio de un arco de circunferencia de radio R1 7.6.- Enlazar varios puntos A, B, C,... no alineados, mediante arcos de circunferencia, conocido el radio R de uno de ellos. A B C D E t R+R1 O1 R O3 T2 R O2 O1 R1 T1 O4 16

Dibujar a escala natural la figura, indicando los puntos de tangencia. 8.- APLICACIONES Dibujar a escala natural la figura, indicando los puntos de tangencia. 60 30 R135 120 o1 135-30 30 120 o2 17

Dibujar la figura a escala natural Dibujar la figura a escala natural. Resolver geométricamente las tangencias y no borrar las construcciones auxiliares. 18

A partir de los datos que aparecen en la figura, dibujarla a escala natural. Resolver geométricamente todas las tangencias y dejar indicadas todas las construcciones auxiliares. 40 8 24+8 40-8 50 24+12 20 12 70 12 19

Dibujar a escala natural la figura Dibujar a escala natural la figura. Resolver geométricamente las tangencias y no borrar las construcciones auxiliares. 50 R37 10 20 27 28 55 28 37+20 37+10 50-20 50-10 50 27 55 20