Métodos de Análisis Ingenieril Raíces de Ecuaciones M.C. Fco. Javier de la Garza S. Cuerpo Académico Sistemas Integrados de Manufactura Gama.fime.uanl.mx/~jdelagar fime_tareas@yahoo.com

Iteración Simple de Punto Fijo Reescribir la función para que x esté en el lado izquierdo de la ecuación: Los métodos de intervalo son convergentes. Los métodos de punto fijo pueden divergir, dependiendo del punto inicial y del comportamiento de la función.

Ejemplo

Convergencia La función x=g(x) puede ser expresada como un par de ecuaciones: y1=x y2=g(x) Graficar por separado

Conclusión La iteración de punto fijo converge si: Cuando el método converge, el error es casi proporcional y menor al del paso anterior, por ello se le conoce como linealmente convergente.

Método de Newton-Raphson Método más ampliamente usado. Basado en la serie de Taylor. Resolver para Fórmula Newton-Raphson

Un método conveniente para funciones cuya derivada puede evaluarse analíticamente.

Algunos casos donde el método de Newton-Raphson tiene una convergencia lenta.

El Método de la Secante Una variación del método NR para funciones cuya derivada sea difícil de evaluar. En estos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida finita regresiva.

Requiere de dos puntos iniciales de x Requiere de dos puntos iniciales de x. Sin embargo, debido a que no se requiere que f(x) cambie de signo entre estos valores, este método no se clasifica como de intervalo. El método de la secante tiene las mismas propiedades que el método NR. La convergencia no esta garantizada para todo xo, f(x).

Raíces de Polinomios La raíz de polinomios del tipo Siguen las siguientes reglas: Para una ecuación de orden n, hay n raíces reales o complejas. Si n es impar, hay al menos una raíz real. Si las raíces complejas existen, existe un par conjugado (esto es, l+mi y l-mi), donde i=raíz(-1).

Métodos Convencionales La eficacia de los métodos de intervalos y abiertos depende de que el problema a resolver involucre raíces complejas. Si sólo existen raíces reales, cualquiera de los métodos anteriores puede utilizarse. Sin embargo, Encontrar buenos valores iniciales puede ser complicado y los métodos abiertos pueden divergir. Se han desarrollado métodos especiales para encontrar las raíces reales y complejas de polinomios: Los métodos de Müller y el de Bairstow.

Método de Müller El método de Müller obtiene el estimado de una raíz proyectando una parábola hacia el eje x a través de tres valores de la función.

1. Escribir la ecuación en forma conveniente: Método de Müller El método consiste en obtener los coeficientes de tres puntos de la parábola: 1. Escribir la ecuación en forma conveniente:

La parábola debe intersectar tres puntos [xo, f(xo)], [x1, f(x1)], [x2, f(x2)]. Los coeficientes de la ecuación pueden evaluarse al sustituir cada uno de esos tres puntos para dar Tres ecuaciones pueden ser resueltas para tres incógnitas que son a, b, c. Ya que dos términos de la tercer ecuación son cero, puede resolverse inmediatamente para c=f(x2).

Resuelto para a y b

Para encontrar la raíz se usa una fórmula cuadrática alternativa El error puede calcularse como Los signos ± corresponden a dos raíces, el signo cambia de acuerdo con el signo de b. Este cambio da como resultado un denominador muy grande y por lo tanto da la raíz estimada más cercana a x2.

Una vez que se determina x3, se repite el proceso siguiendo las siguientes guías: Si sólo se localizan raíces reales elegimos dos puntos originales que se aproximan a la nueva raíz estimada, x3. Si ambas raíces real y compleja han sido evaluadas, se emplea una aproximación secuencial. Esto es, parecido al método de la secante, x1, x2 y x3 toman el lugar de xo, x1, y x2.