Tema V Programación Lineal MATEMÁTICAS A. CS II Tema V Programación Lineal @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROGRAMACIÓN LINEAL TEMA 5.3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROGRAMACIÓN LINEAL Aunque se utilizaba ya en el siglo XVII, se considera a George Bernard (1947) como el precursor de esta rama de las Matemáticas, al formular y desarrollar los algoritmos necesarios para resolver problemas de programación lineal. Se utiliza en problemas como el de la dieta o el transporte, así como en problemas de planificación económica y gestión social. Se trata de hallar la ganancia máxima o el coste mínimo cuando se dispone de recursos limitados o hay que cubrir unas necesidades mínimas. Un PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL es aquel en que pretendemos hallar el máximo o el mínimo de una función, llamada FUNCIÓN OBJETIVO, sujeta a una serie de restricciones que vienen expresadas en forma de inecuaciones. Para resolver un problema de programación lineal tendremos que: 1.- Encontrar la función objetivo y el conjunto de restricciones. 2,. Determinar la región factible, que será la solución al sistema de inecuaciones lineales formado por las restricciones. 3.- Calcular el punto o puntos donde la función objetivo alcanza el máximo o el mínimo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Ejemplo explicado paso a paso ENUNCIADO (Suele ser bastante largo, pues debe ser muy preciso y meticuloso). Los alumnos de 2º Bachillerato del IES “Jorge Manrique” pretenden vender dos tipos de lotes, A y B, para sufragar parte de los gastos del viaje fin de estudios. Cada lote de tipo A consta de una caja de chocolatinas y cinco participaciones para la rifa de un coche; y cada lote de tipo B de dos cajas de chocolatinas y dos participaciones. Por cada lote de tipo A vendido, los alumnos obtienen un beneficio de 8 € y por cada lote de tipo B, de 10 €. Por razones de almacenamiento y conservación pueden disponer, a lo sumo, de 400 cajas de chocolatinas. Asimismo los alumnos sólo disponen de 1200 participaciones para la rifa del coche y deben maximizar sus beneficios. Se desea saber cuántas unidades de cada tipo, A y B, deben vender para que el beneficio obtenido sea el máximo, así como la cantidad a que asciende dicho beneficio @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Resolución: (1.- Encontrar la función objetivo y el conjunto de restricciones) Siendo x e y las unidades vendidas de cada tipo. x = unidades vendidas, lotes, del tipo A y = unidades vendidas, lotes, del tipo B La función objetivo será la expresión que nos de el beneficio en función de las unidades vendidas de cada tipo: f (x, y) = 8.x + 10.y Las restricciones del problema serán: x + 2.y ≤ 400 , en lo tocante a cajas de chocolatinas disponibles. 5.x + 2.y ≤ 1200 , en lo tocante a participaciones con que cuentan. x ≥ 0 , pues x debe ser un número entero y positivo y ≥ 0 , pues y debe ser, al igual que x, entero y positivo. Obsérvese que tenemos un sistema de cuatro inecuaciones con dos incógnitas, x e y. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Y Resolución: (2.- Calcular la región factible) Región Factible, aquella donde se va a encontrar la solución o soluciones del problema, si es que existe/n. Representamos gráficamente las inecuaciones (restricciones). 5.x + 2.y ≤ 1200 x + 2.y ≤ 400 y ≥ 0 x ≥ 0 Para ello despejamos y hallamos una pequeña tabla de valores para cada una: y ≤ 600 – 2,5.x y ≤ 200 – 0,5.x X @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Y … Resolución: (2.- Calcular la región factible) La región factible será la intersección de los rayados parciales, que vemos es un cuadrilátero de vértices ABCD Los lados de dicho cuadrilátero son todos continuos, en razón de las inecuaciones. Todos los puntos encerrados en el cuadrilátero son solución del sistema, pero el punto o puntos que nos va a dar el máximo beneficio es uno de los vértices. (Excepcionalmente el máximo beneficio se puede encontrar en todos los puntos de una recta que une dos vértices). A(0,0) B(0, 200) C(200, 100) D(240, 0) 600 B 200 C A D X 0 200 240 400 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Resolución: (3.- Calcular el punto (normalmente es un vértice) donde la función objetivo alcanza el máximo valor) A.- FORMA GRÁFICA Tomamos la función objetivo f (x,y) = 8.x + 10.y Dibujamos: 8.x + 10 y = 0 y = – 8.x / 10 = – 0,8.x Dibujamos las paralelas que pasan por los todos los vértices. El vértice solución será aquel cuya paralela correspondiente corte al eje de ordenadas en la mayor altura posible. En este caso: C  x = 200, y = 100 Corte de máxima altura B(0,200) C(200,100) A(0,0) D(240,0) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Resolución: (3.- Calcular el punto (normalmente es un vértice) donde la función objetivo alcanza el máximo valor) B.- FORMA ANALÍTICA Tomamos la función objetivo: f(x,y) = 8.x + 10.y Tomamos las coordenadas de los vértices, ya halladas o calculadas. Hallamos los valores de la función: f(A) = 8.0+10.0 = 0  NO f(B) = 8.0+10.200 = 2.000 f(C) = 8.200+10.100 = 2.600 f(D) = 8.240 + 10.0 = 1.900 Vemos que debemos vender 200 del tipo A y 100 del B para obtener el máximo beneficio que corresponde a 2.600 € B(0,200) C(200,100) A(0,0) D(240,0) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.