INSTITUCION EDUCATIVA LAS FLORES PROPOSICIONES. TABLAS DE VERDAD GRADO SEXTO LIC. RAÚL EMIRO PINO S. CODAZZI-CESAR http://pinomat.jimdo.com

PROPOSICIONES se llama proposición simple a todo enunciado del cual se pueda decir que es verdadero (V) o falso (F) y se representan con letras minúsculas p, q, r , s, … PROPOSICIONES SIMPLES: Ejemplo: 1) p: Valledupar es la capital del cesar. Proposición. V 2) q: los animales necesitan comer. Proposición. V

3) r: Simón Bolívar nació en Colombia. Proposición. F 4)p: ¿Qué día es hoy? No es proposición. 5)P: pon el libro en la mesa. No es proposición

NEGACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN Dada una proposición a veces es necesario construir otra proposición que sea su negación. Si p es una proposición, denotaremos su negación como ~p, que se lee “no p” que significa “es falso que” Si la proposición es verdadera su negación es falsa Si la proposición es falsa su negación es verdadera

Ejemplo: Proposición dada 1) p: Bogotá es la capital de Colombia. V Negación ~p: Bogotá no es la capital de Colombia. F ~p: Es falso que Bogotá es la capital de Colombia. F

Proposición dada F 2) r: 3 es menor que 2. Negación ~r: 3 no es menor que 2. V V ~r: Es falso que 3 es menor que 2.

PROPOSICIONES ABIERTAS Y CERRADAS Cuando en una expresión la variable puede tomar diferentes valores y se puede determinar su valor de verdad, decimos que es una proposición abierta, ejemplo: 1) x es número menor que 5. x es una variable que puede tomar diferentes valores, por ejemplo x puede ser 1,2,3,4, en el conjunto de los números naturales y la proposición es verdadera.

2) x es un día de la semana. 3) x es un animal cuadrúpedo. Una proposición abierta puede convertirse en una proposición cerrada, verdadera o falsa, al sustituir el término variable por un término constante elegido de un conjunto referencial, ejemplo: sustituir la variable de las proposiciones abiertas para convertirlas en proposiciones cerradas. 1) 3 es un número menor que 5. V 2) mayo es un día de la semana. F

CUANTIFICADORES Los cuantificadores son palabras que se anteponen a una proposición abierta con el fin de crear una nueva proposición cerrada, en la cual se indica si todos o al menos uno de los elementos de un conjunto satisfacen la proposición abierta. El cuantificador “todo” o “para todo” se llama cuantificador universal por que indica que la totalidad de los elementos del conjunto universal cumple la característica expresada por el predicado. Se representa por “ “, que se lee “para todo” A

a) Todos los números primos son impares El cuantificador “existe uno” o “existen algunos” se denomina cuantificador existencial porque indica que existe por lo menos un elemento del conjunto universal que cumple la característica expresada por el predicado. Se representa por “Ǝ” que se lee “existe al menos uno”. Ejemplo: a) Todos los números primos son impares Implica que en el conjunto de los números no hay elementos pares. La proposición es f El 2 es un número primo y no es impar.

b) Ningún estudiante de 6° grado tiene mas de 18 años. Significa que todos son menores de 18 años. La proposición es V. c) Algunos profesores practican deporte Significa que uno mas profesores practican deporte. La proposición es V. d) No todos los niños asisten al colegio Nos da a entender que hay otros niños que no asisten al colegio

La siguiente tabla reúne los cuantificadores EXPRESIONES SÍMBOLO Universal Para todo, todos, nadie, cualquier, ninguno, nada, ∀ Existencial Existe, uno, algún, algunos Ǝ CONECTIVOS LÓGICOS Los conectivos lógicos son las operaciones que se pueden hacer sobre las proposiciones, con el fin de darles alguna cualidad en especial (negarlas, unirlas, implicarlas, etc)

Dentro de los conectivos lógicos encontramos: “no”, “ y”, “o”, “si…entonces…” PROPOSICIONES COMPUESTAS Una proposición compuesta es un enunciado formado por dos o mas proposiciones simples unidas por conectivos lógicos “no”, “ y”, “o”, “si…entonces…” Ejemplo:

Observa las siguientes tablas a) 15 es múltiplo de 3 y 12 es múltiplo de 4. b) Estoy estudiando o estoy viendo Tv c) Si un número es divisible por dos, entonces termina en cifra par. Observa las siguientes tablas p q V V p ~p V F p V F V F F V F V F F

Una proposición simple “p” tiene dos posibilidades de valores. TABLAS DE VERDAD Para determinar los valores de verdad de una proposición compuesta, se deben conocer los valores de verdad de las proposiciones simples que la conforman. Una proposición simple “p” tiene dos posibilidades de valores. p V F

Para la proposición ~p se define su valor de verdad de la siguiente manera q Para dos proposiciones simples se presentan cuatro posibilidades de valor: las dos V, las dos F y una V y la otra F V V V F F V F F Ejemplo:

Hoy es martes y mañana es miércoles V V Hoy es martes y mañana es jueves V F Hoy es jueves y mañana es miércoles F V Hoy es jueves y mañana es lunes F F

CONJUNCIÓN DE UNA PROPOSICIÓN Se llama conjunción de dos proposiciones dadas, p y q a la proposición que se obtiene enunciando q a continuación de p, unidas por la expresión “y” La conjunción de las proposiciones p y q se escribe como: p Ʌ q se lee “p y q”. Ejemplo: 1) 10 es un número natural par y divisible por 5

Se puede denotar mediante el esquema p Ʌ q, con p: 10 es un número natural par q: 10 es divisible por 5 2) La radio es un medio de comunicación y el avión es un medio de transporte. p Ʌ q, con p: La radio es un medio de comunicación. q: El avión es un medio de transporte.

p q p Ʌ q V V V V V F V F F V F F F F Analicemos la siguiente tabla Observamos que la proposición p Ʌ q es verdadera cuando las proposiciones simples que la forman son verdaderas.

TABLA DE VERDAD Una conjunción es verdadera cuando las proposiciones simples que la forman son verdaderas. p q p Ʌ q V V V V V F V F F V F F F F Ejemplo: 1)Construir la tabla de verdad de la proposición p Ʌ ~q

Se niega q para obtener ~q y luego se forma la conjunción de p y ~q para obtener p Ʌ ~q. Se escriben todas las posibilidades para las proposiciones simples p y q, luego se niega q y se obtienen los valores de verdad de ~q. p q ~q F V V V V F F V F V F F

Se forma la conjunción p Ʌ ~q y se obtienen sus valores de verdad de acuerdo con la tabla de la conjunción p q ~q p Ʌ ~q F F V V V V V F F V F F V F F F

DISYUNCIÓN DE UNA PROPOSICIÓN Se llama disyunción de dos proposiciones dadas, p y q a la proposición que se obtiene enunciando q a continuación de p, unidas por la expresión “o” La disyunción de las proposiciones p y q se escribe p v q y se lee “p o q” Ejemplo: 1) 15 es múltiplo de 5 o de 2 Se puede denotar mediante el esquema

Observa la siguiente tablas p V q, con p: 15 es múltiplo de 5 q: 15 es múltiplo de 2 Una disyunción sólo es falsa cuando las proposiciones simples que la forman son falsas 2) Pedro juega o 3 + 6 = 9. p V q, con p: Pedro juega. Observa la siguiente tablas q: 3 + 6 = 9 p q p V q V V V V V F F V V F F F F F

TABLA DE VERDAD Una disyunción sólo es falsa cuando las proposiciones simples que la forman son falsas. p q p V q V V V V V F F V V F F F F F

CONDICIONAL DE UNA PROPOSICIÓN Se llama condicional de dos proposiciones dadas, p y q a la proposición que se obtiene enunciando q a continuación de p, unidas por la expresión “si… entonces…” El condicional entre las proposiciones p y q se escribe como p → q y se lee “si p, entonces q” Ejemplo:

1) Si 28 es un número par entonces es divisible entre 2 Se puede denotar mediante el esquema p → q, con p: 28 es un número par q: 28 es divisible entre 2 p q p →q V V V V F V F F V F V F F V

TABLA DE VERDAD Una condicional es verdadera en todos los casos salvo cuando p es verdadero y q falso p q p →q V V V V F V F F V F V F F V

ACTIVIDAD 1) Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones: c) p → ~ q a) ~p V q b) ~ (p Ʌ q) p q ~ p ~ p v q V V F V V F F F V F V V F F V V

b) ~ (p Ʌ q) p q p Ʌ q ~ (p Ʌ q) V F V V F V V F F V F V F V F F c) p → ~ q p q ~q p →~q F F V V V V V F F V F V V F F V