Transformaciones isométricas

Resumen de la clase anterior Circunferencia Teoremas de proporcionalidad cuerdas secantes tangente secante y cuadrilátero circunscrito igualdad

Aprendizajes esperados Aplicar traslación de puntos y figuras planas. • Aplicar rotación de puntos y figuras planas, con respecto al origen. • Aplicar simetría de puntos y figuras planas, con respecto a un eje y a un punto. • Analizar la posibilidad de embaldosar con polígonos. • Reconocer ejes de simetría en figuras geométricas.

Pregunta oficial PSU 43. En el sistema de ejes coordenados de la figura 11 se ha ubicado el punto P(a, b), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) El simétrico de P con respecto al eje x es P'(a, – b). II) El simétrico de P con respecto al origen es P"(– a, – b). III) El simétrico de P con respecto a un punto en el primer cuadrante es otro punto que está en el primer cuadrante. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.

1. Transformaciones isométricas 2. Tipos de transformaciones isométricas 3. Teselación

1. Transformaciones Isométricas 1.1 Definición La palabra isometría, significa igual medida, por lo tanto, en una transformación isométrica: 1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura (figuras congruentes). 2) Solo cambia la posición (orientación o sentido de esta).

2. Tipos de Transformaciones Isométricas 2.1 Traslación Es el movimiento que se realiza al deslizar una figura en línea recta, manteniendo su forma y tamaño. Una traslación en el plano, corresponde a una aplicación T(a, b) que transforma un punto P(x,y), en otro P´(x + a, y + b). T(a, b) P(x, y) P´( x + a, y + b ) Ejemplo 1: T(3, – 5) P(2, 1) P´(2 + 3, 1 + –5) P´(5, – 4)

2. Tipos de Transformaciones Isométricas 2.1 Traslación T(3, – 5) P(2, 1) P´(5, – 4) – 1 1 2 3 4 y x 5 – 3 – 2 – 4 – 5 P P´ La aplicación T(a, b) se denomina VECTOR DE TRASLACIÓN

2. Tipos de Transformaciones Isométricas 2.1 Traslación Ejemplo 2: El triángulo PQR, de vértices P(1, 2), Q(3, 1) y R(4, 3) se traslada al aplicar el vector traslación T(– 4, 2), Luego, las coordenadas de sus nuevos vértices son: P´, Q´ y R´. T(– 4,2) P(1, 2) P´(– 3, 4) Q(3, 1) Q´(– 1, 3) R(4, 3) R´(0, 5)

2. Tipos de Transformaciones Isométricas 2.1 Traslación Gráficamente, el triángulo se traslada 4 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba. 1 2 3 4 –1 –2 –3 5 P(1, 2) P´(–3, 4) Q(3, 1) Q´(–1, 3) R(4, 3) R´(0, 5)

2. Tipos de Transformaciones Isométricas 2.2 Rotación Corresponde a un movimiento circular con respecto a un centro de rotación en un ángulo determinado. O: centro de rotación < O La rotación es positiva si es en sentido antihorario (contrario a los punteros del reloj).

2. Tipos de Transformaciones Isométricas 2.2 Rotación Si el punto A (x, y) gira con respecto al origen en 90°, 180°, 270° o en 360°; se transforma en otro punto, cuyas coordenadas se indican en la siguiente tabla: 90° 180° 270° 360° A(x, y) Punto Ángulo (–y, x) (–x, –y) (y, –x) (x, y) Ejemplo 1: 90° 180° 270° 360° A(5, –8) Punto Ángulo (8, 5) (–5, 8) (–8, –5) (5, –8) Una rotación negativa (o en sentido horario) de 90º equivale a una rotación positiva(o antihoraria) 270º, y viceversa.

2. Tipos de Transformaciones Isométricas 2.2 Rotación Ejemplo 2: Si el punto A (2, 3) gira con respecto al origen en 90°, se transforma en el punto A´(– 3, 2). 1 2 3 4 –1 –2 –3 5 A A´

2. Tipos de Transformaciones Isométricas 2.3 Simetría o Reflexión Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a una figura geométrica, produce el efecto de un espejo (refleja la figura). Tipos de simetrías: Simetría axial: reflexión respecto de un eje. Eje de Simetría

2. Tipos de Transformaciones Isométricas 2.3 Simetría o Reflexión La simetría axial corresponde a una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto A del plano, otro A’, tal que la recta que los une, es perpendicular a una recta fija llamada eje de simetría. eje de simetría: x = 1 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 M A A’ AA’ es perpendicular al eje de simetría AM = MA’

2. Tipos de Transformaciones Isométricas 2.3 Simetría o Reflexión Simetría central: reflexión respecto de un punto. O A A´ O : centro de simetría AO = OA’

2. Tipos de Transformaciones Isométricas 2.3 Simetría o Reflexión La simetría central corresponde a una transformación isométrica de modo que el “simétrico” de un punto A, con respecto a un punto O, es A`, donde OA = OA` y A` pertenece a la recta AO. Ejemplo: 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 B C OA = OA´ A O A´ OB = OB´ OC = OC´ C´ B´ La simetría central equivale a una rotación de 180º con respecto a un punto.

3. Teselaciones Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre completamente una superficie plana, de manera que no queden espacios y no se superpongan las figuras. Ejemplos:

3. Teselaciones Teselación del plano por polígonos regulares Los tres polígonos regulares que cubren el plano son: Triángulo equilátero Cuadrado Hexágono regular Solo estas tres figuras teselan, en forma regular, el plano.

3. Teselaciones Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial. Simetría + Traslación

Pregunta oficial PSU 43. En el sistema de ejes coordenados de la figura 11 se ha ubicado el punto P(a, b), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) El simétrico de P con respecto al eje x es P'(a, – b). II) El simétrico de P con respecto al origen es P"(– a, – b). El simétrico de P con respecto a un punto en el primer cuadrante es otro punto que está en el primer cuadrante. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011. ALTERNATIVA CORRECTA C

Transformaciones isométricas Síntesis de la clase Transformaciones isométricas Teselación Simetría Traslación Central O A A´ Axial Rotación Composición

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Equipo Editorial Matemática