EXPRESIONES ALGEBRÁICAS Y POLINOMIOS Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. GALILEO GALILEI

CONOCIMIENTOS PREVIOS Para un buen desempeño con el tema de las expresiones algebraicas, es necesario un buen dominio en las propiedades y operaciones con números reales. 2. Tener muy en cuenta la ley de los signos. 3. Tener buena habilidad y destreza en realización de cálculos en los que intervienen operaciones con signos de agrupación.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Una expresión algebraica es una combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas. Adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación La expresión algebraica esta conformada por TÉRMINOS Nuestra expresión Algebraica modelo está conformada por tres términos: (3y ), (-2xy), (8) 3y – 2xy + 8 Expresión algebraica términos

EN EL SIGUIENTE TÉRMINO TENEMOS: Entonces, UN TÉRMINO es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos separados únicamente por la multiplicación o la división. Aquí no hay sumas ni restas para separarlos. EN EL SIGUIENTE TÉRMINO TENEMOS: Coeficiente Exponente +3y2 Signo Literal

GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO: Se denomina grado absoluto de un término algebraico a la suma de los exponentes de su factores literales: 3x3, este término es de grado tres -5x2y3, es de grado 5, porque la suma de los exponentes de sus literales es 2 + 3 = 5 GRADO RELATIVO: Está dado por el exponente de la variable considerada. -5x2y3 : Es de 2º grado con respecto a la variable x. -5x2y3: Es de 3er grado con respecto a la variable y.

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Las expresiones Algebraicas se clasifican de acuerdo al número de términos que la componen en: MONOMIOS, BINOMIOS, TRINOMIOS Y POLINOMIOS

MONOMIOS. Los monomios son expresiones algebraica de un solo término. Ejemplos: 7xy 2) –0,5xy 3) 4ab 4) -5xyz 5) 52abc 6) 3xz Debes tener en cuenta que en un monomio hay: un factor numérico que se llama coeficiente , que en los ejemplos anteriores serían : 7 ,-0.5, 4 ,-5, 52, 3 respectivamente, Una parte constituida por letras y sus exponentes que se llama parte literal, como son xy, xy , ab, xyz para nuestros ejemplos anteriores. Los monomios que tienen la misma parte literal se llaman monomios semejantes, o simplemente términos semejantes, como son : 5xy2, -7xy2, 3xy2.

POLINOMIO Un Polinomio es una expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos: Ejemplos: 1) -7x2 + 4x – 5xy 3) 5a2 + 3ab - ab2 - 2 2) 6x4 - 5x3 + x2 + 4x + 9 4) 6x3 + 2x2 – x +1 De acuerdo a la cantidad de sumandos el polinomio recibe otras denominaciones que son: Binomio y Trinomio:

BINOMIO Binomio: es un Polinomio que consta de dos términos. Ejemplos: 1) 5x2y + 2x2y3 3) 4a2b + 4a3b3 5) 8m3n2 - 2mn2 2) -4x + 3y 4) 6x2y2z - 3xy 6) – 4x -2xy TRINOMIO Trinomio: es un Polinomio que consta de tres términos. Ejemplos: 1) 5x + 6y + 3z 3) 4mn2 + 2m2n – 3mn 5) a2+b2 + 3ab3 + ab 2) –1 + ab + 3a2b 4) -3xy2z + 3x2y2z +x2y2z3 6) x3y2 + xy2 +3xy

GRADO DE UN POLINOMIO El grado de un polinomio está determinado por el término de mayor grado absoluto. Ejemplo: 2x3y + 5xy2 - x z + 1 es de grado 4, OBSERVA : el término 2x3y que es de grado 4. El grado de un polinomio respecto de una variable es el mayor exponente con que figura dicha variable . Así en el ejemplo anterior es de grado 3 respecto de x , de grado 2 respecto de y, de grado 1 respecto de z

OPERACIONES CON POLINOMIOS Los Polinomios pueden sumarse, restarse, multiplicarse, dividirse y elevarse a cualquier potencia real. Por ejemplo una SUMA de polinomios puede expresarse como:

SUMA y RESTA 1. Solo se pueden sumar o restar TÉRMINOS SEMEJANTES. 2. La suma o resta de dos o más monomios semejantes es otro monomio semejante a los anteriores y que tiene por coeficiente la suma o resta de los coeficientes de cada monomio. 3. Si no son semejantes se deja la operación indicada YA QUE NO SE PODRÁN SUMAR. EJEMPLO 1: 4 b + b  = 5b EJEMPLO2: 7xy – 3xy = 4xy EJEMPLO3: - 5xy2 – 3xy2 = - 8xy2 EJEMPLO4: 2x3y2 + 2xy = 4 + 1 = 5 No se pueden sumar, pues no se cuenta con términos semejantes Se asume, que si no existe un valor numérico (coeficiente) antes de la letra, se asume que vale uno (1)

Su representación sería como se presenta a continuación: La suma de dos o más polinomios puede realizarse sumando sus términos semejantes. Esta operación puede hacerse en forma vertical o en horizontal o fila. Su representación sería como se presenta a continuación: EJEMPLO: Sume los dos Polinomios siguientes Primero ordenemos en forma descendente el polinomio P(y), con relación a la variable y. Como segundo paso, es conveniente disponer los polinomios en forma vertical de tal manera que coincidan los términos semejantes de ambos polinomios, así obtienes la siguiente presentación y podrás sumarlos más fácilmente:

EJEMPLO: Resuelve la siguiente suma de polinomios utilizando el método horizontal: Para dar solución a este ejercicio, sigue los pasos que se describen a continuación: Agrupa términos semejantes utilizando las propiedades conmutativa y asociativa de la adición. Sigue

Ahora podrás reducir términos semejantes, es decir, súmalos: Otro ejemplo: Realizar la suma de polinomios indicada: Para dar solución a esta suma, debes proceder de igual manera que en el ejemplo anterior: Como último paso, debes ordenar el polinomio, esto lo haces teniendo en cuenta los exponentes de la variable x; entonces Ordena de mayor a menor (orden descendente), y te quedará así: - 7x3 +4x2 +8x +3 Es tu respuesta

RESTA DE POLINOMIOS EJEMPLO1: Realizar la siguiente resta de monomios: 15x – 10x Para dar solución debes restar los coeficientes 15 -10, ya que estamos operando con términos semejantes; por lo tanto, tu respuesta será igual a 5x. Respuesta: 15x – 10x = 5x EJEMPLO2: realizar la siguiente resta de polinomios: P(x) – Q(x). Sea P(x) = y Q(x) = 1. Para dar solución a esta resta observemos la siguiente disposición en forma horizontal:

2. Destruye el paréntesis aplicando la ley de signos: 3. Operando con los términos semejantes, se obtiene: EJEMPLO3: Realizar la siguiente resta de polinomios, utilizando la forma vertical : Para dar solución, observa de nuevo como el signo menos afecta el sustraendo: No olvides que para restar dos polinomios deben cambiarse todos los signos al sustraendo y sumar algebraicamente. Minuendo Sustraendo Diferencia

EJEMPLO 4: Realizar la siguiente resta utilizando el método horizontal: Para dar solución, no olvides escribir en forma horizontal los polinomios cuidando de cambiar el signo a los términos del sustraendo. Teniendo en cuenta el cambio de los signos, la operación se convierte en una suma de polinomios: Ahora, efectúa las operaciones: