Transformaciones de funciones Obteniendo funciones nuevas a partir de funciones conocidas

Analicemos la función f(x) = x3 - x Intentaremos introducir cambios en esta función para obtener otras nuevas. Podemos distinguir: a) Cambios que afectan a la variable Ejemplos: b) Cambios que afectan a la función

Los valores de la variable se representan en el eje horizontal Los valores de la variable se representan en el eje horizontal. Por lo tanto , los cambios que afecten a la variable modificarán el aspecto horizontal de la gráfica de la función. Similarmente, los valores de la función se representan en el eje vertical. Por ende, los cambios que afecten a la función modificarán el aspecto vertical de la gráfica. Existen básicamente tres tipos de transformación que analizaremos: Desplazamientos en dirección horizontal y vertical. Dilataciones y compresiones en dirección horizontal y vertical. Reflexiones alrededor del eje x y del eje y.

Desplazamientos (1) Dada nuestra función original Tratamos de obtener la gráfica de Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que agregar una unidad, por lo que la gráfica quedará desplazada en una unidad hacia arriba.

Desplazamientos (1) Dada nuestra función original Tratamos de obtener la gráfica de Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que agregar una unidad, por lo que la gráfica quedará desplazada en una unidad hacia arriba. Si c > 0, f(x) + c desplaza la gráfica de f(x) en c unidades hacia arriba

Desplazamientos (2) Dada nuestra función original Tratamos de obtener la gráfica de Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que restar una unidad, por lo que la gráfica quedará desplazada en una unidad hacia abajo.

Desplazamientos (2) Dada nuestra función original Tratamos de obtener la gráfica de Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que restar una unidad, por lo que la gráfica quedará desplazada en una unidad hacia abajo. Si c > 0, f(x) - c desplaza la gráfica de f(x) en c unidades hacia abajo

Desplazamientos (3) Dada nuestra función original Tratamos de obtener la gráfica de Para ello observamos que Y por lo tanto Observamos que los ceros de la función f(x – 0,5) aparecen desplazados en 0,5 unidades hacia la derecha con respecto a los de f(x).

Desplazamientos (3) Dada nuestra función original Tratamos de obtener la gráfica de Para ello observamos que Y por lo tanto Observamos que los ceros de la función f(x – 0,5) aparecen desplazados en 0,5 unidades hacia la derecha con respecto a los de f(x). Si c > 0, f(x – c) desplaza la gráfica de f(x) en c unidades hacia la derecha

Desplazamientos (4) Similarmente, dada nuestra función Tratamos de obtener la gráfica de Recordemos que Y por lo tanto Observamos que los ceros de la función f(x + 0,5) aparecen desplazados en 0,5 unidades hacia la izquierda con respecto a los de f(x).

Desplazamientos (4) Similarmente, dada nuestra función Tratamos de obtener la gráfica de Recordemos que Y por lo tanto Observamos que los ceros de la función f(x + 0,5) aparecen desplazados en 0,5 unidades hacia la izquierda con respecto a los de f(x). Si c > 0, f(x + c) desplaza la gráfica de f(x) en c unidades hacia la izquierda

Dilataciones y compresiones (1) Dada nuestra función original Tratamos de obtener la gráfica de Observamos que a cada valor de la imagen lo tenemos que multiplicar por dos, por lo que la gráfica se estirará en un factor de 2 en la dirección vertical.

Dilataciones y compresiones (1) Dada nuestra función original Tratamos de obtener la gráfica de Observamos que a cada valor de la imagen lo tenemos que multiplicar por dos, por lo que la gráfica se estirará en un factor de 2 en la dirección vertical. Si c > 1, cf(x ) estira la gráfica de f(x) según un factor de c en la dirección vertical.

Dilataciones y compresiones (2) Dada nuestra función original Tratamos de obtener la gráfica de Observamos que a cada valor de la imagen lo tenemos que dividir por dos, por lo que la gráfica se comprimirá en un factor de 2 en la dirección vertical.

Dilataciones y compresiones (2) Dada nuestra función original Tratamos de obtener la gráfica de Observamos que a cada valor de la imagen lo tenemos que dividir por dos, por lo que la gráfica se comprimirá en un factor de 2 en la dirección vertical. Si c > 1, f(x)/c comprime la gráfica de f(x) según un factor de c en la dirección vertical.

Dilataciones y compresiones (3) Dada nuestra función original Tratamos de obtener la gráfica de Para ello observamos que Y por lo tanto Observamos que los ceros de la función f(2x) aparecen a la mitad de la distancia al origen con respecto a los de f(x).

Dilataciones y compresiones (4) Dada nuestra función original Tratamos de obtener la gráfica de Para ello observamos que Y por lo tanto Observamos que los ceros de la función f(2x ) aparecen a la mitad de la distancia al origen con respecto a los de f(x). Si c > 1, f(cx) comprime la gráfica de f(x) según un factor de c en la dirección horizontal.

Dilataciones y compresiones (4) Si similarmente analizáramos la función f(x/2) = (x/2)3 – (x/2), llegaríamos a que: Si c > 1, f(x/c) dilata la gráfica de f(x) en un factor de c unidades en la dirección horizontal.

Reflexiones Para analizar las reflexiones usaremos otra función, f(x) = 2x - x2

Reflexiones (1) Dada nuestra función original Tratamos de obtener la gráfica de Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que cambiar el signo: lo que era negativo se volverá positivo, y viceversa. Ello indica que la gráfica de –f(x) será la misma de f(x) pero reflejada alrededor del eje x.

Reflexiones (1) Dada nuestra función original Tratamos de obtener la gráfica de Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que cambiar el signo: lo que era negativo se volverá positivo, y viceversa. Ello indica que la gráfica de –f(x) será la misma de f(x) pero reflejada alrededor del eje x. La expresión –f(x) refleja la gráfica de f(x) alrededor del eje x.

Reflexiones (2) Dada nuestra función original Tratamos de obtener la gráfica de Para ello observamos que Y por lo tanto Observamos que los ceros de la función f(-x ) aparecen a la misma distancia al origen con respecto a los de f(x), pero en el semieje opuesto; esto es, reflejados respecto al eje y.

Reflexiones (2) Dada nuestra función original Tratamos de obtener la gráfica de Para ello observamos que Y por lo tanto Observamos que los ceros de la función f(-x ) aparecen a la misma distancia al origen con respecto a los de f(x), pero en el semieje opuesto; esto es, reflejados respecto al eje y. La expresión f(– x) refleja la gráfica de f(x) sobre el eje y.