SISTEMA DE COORDENADAS Y IIc (-x,y) Ic (x,y) (x,y) X IVc (x,-y) IIIc (-x,-y) Es el eje horizontal (X) EJE DE LAS ABSCISAS Es el eje vertical (Y) EJE DE LAS ORDENADAS Todo punto ubicado en el Plano tiene coordenadas (x, y) Todo punto ubicado en el Eje de las ABSCISAS tiene coordenadas (x, 0) Todo punto ubicado en el Eje de las ORDENADAS tiene coordenadas (0, y)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN PUNTO EN EL PLANO Y 2 P(1,2) M(2,0) -3 X 1 2 -1 B(0,-1) Q(-3, -2) -2

y “b es la imagen de a” se escribe b = f(a) FUNCIÓN Sean A y B dos conjuntos no vacíos, una correspondencia o relación f que asocia cada elemento de A con uno y sólo un elemento de B, se llama FUNCIÓN. Conjunto de Llegada Conjunto de Partida f A a b B Se denota: A B o f: A B y “b es la imagen de a” se escribe b = f(a) f

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Cuando una función f está definida sobre un conjunto A, el cual es parte o todo el conjunto de los números Reales y cuando B coincide con R, a la función se le denomina: FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL a A b B Y P(x,y) b y X x a

CRITERIO DE LA VERTICAL PARA FUNCIONES X Y No es FUNCIÓN y1 x y2 Y X Si es FUNCIÓN y1 x Para determinar si una relación es o no es FUNCIÓN, se traza un recta paralela al eje Y que contenga por lo menos dos puntos de la relación, si la intercepta en dos (2) puntos entonces NO es una función.

Variable Independiente GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN ƒ(x)= 2x + 4 ƒ(x)= y x= 0 ƒ(0)= 2∙0 + 4 ƒ(0)= 4 x=-1 ƒ(-1)= 2(-1) + 4 ƒ(-1)= -2 + 4 Tabla de valores ƒ(-1)= 2 x y 4 Variable Dependiente -1 2 Y X 4 2 -2 -1 Variable Independiente ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde la recta intersecta al Eje X? (-2, 0)

√ √ √ √ √ √ Ejemplo 2: ƒ(x)= x - 2 ƒ(x)= y ƒ(2)= 2 - 2 x= 2 ƒ(2)= 0 ƒ(2)= 2 - 2 √ x= 2 ƒ(2)= 0 ƒ(6)= 4 √ x= 6 ƒ(6)= 6 - 2 √ ƒ(6)= 2 ƒ(11)= 11 - 2 √ ƒ(11) = 9 √ x y x= 11 2 ƒ(11)= 3 6 2 11 3 Y X 3 2 2 6 11

R √ 2 Df ó Dom f Cdf ó Cdom f Rf ó Rgo f DOMINIO O CAMPO DE EXISTENCIA DE UNA FUNCIÓN Y X ƒ(x)= x - 2 √ 2 ¿A partir de que valor empieza X? 2 Rgo f = [0, ) Dom f = [2 , ) Df ó Dom f Es el conjunto de valores, para los cuales está bien definida la función. CODOMINIO DE UNA FUNCIÓN R ¿Quién es el conjunto de llegada? Cdf ó Cdom f ¿A partir de que valor empieza Y? RANGO O RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN Es el conjunto formado por todas las imágenes. Rf ó Rgo f Rf  Cdf

En la función f(x) = m x + b se presentan tres casos: Si b = 0, la función se denomina función lineal o de proporcionalidad directa. Su gráfica y = m x pasa por el origen de coordenadas. Estas funciones relacionan dos variables directamente proporcionales. Si m = 0, decimos que la función es constante y su gráfica y = b es una recta paralela al eje de abscisas que pasa por el punto (0, b). Si m y b son distintos de 0, la función se llama función afín. Función lineal Función constante Función afín

FUNCIÓN AFÍN ƒ(x)= 2x + 4 2 4 ƒ: R R y = 2x + 4 (-2, 0) (0, 4) representa la PENDIENTE de la recta y se denota con la letra m. la ORDENADA en el origen (cuando x = 0) y se denota con la letra b. Y X Como dos puntos son suficientes para definir una recta, siempre elegiremos los puntos P(x, 0) y Q(0, y) para representarla, ya que son los PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE LA RECTA CON LOS EJES DE COORDENADAS.  4 -2 y = 2x + 4 (-2, 0) (0, 4) ƒ(x) = m x + b para todo m y b R.  ƒ(x)= y y = 2x + 4 El valor de la PENDIENTE es el coeficiente de x cuando y esta despejada.

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Igualemos a cero la ecuación y = 2x + 4 0 = 2x – y + 4 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA 2 coeficiente de x, se denota con la letra A -1 coeficiente de y, se denota con la letra B 4 término independiente con la letra C Viene dada por la expresión: A x + B y + C = 0 para todo A, B y C R, donde: A es el coeficiente de x B es el coeficiente de y C es el término independiente  Veamos si el punto P pertenece a la recta P (-1, 2) Sustituimos las coordenadas de P en la ecuación 2x – y + 4 = 0 2(-1) – 2 + 4 = 0 – 2 – 2 + 4 = 0 0 = 0 Todo punto del plano (x, y) PERTENECE a la recta, si los valores de sus coordenadas satisfacen la igualdad.

Si la recta es paralela al eje X, la pendiente es nula. PENDIENTE DE UNA RECTA Es la inclinación (ángulo α) que tiene una recta r con respecto al eje horizontal 0X. Si el ángulo α que forma la recta con la parte positiva del eje 0X es agudo, la pendiente es positiva. Si el ángulo β que forma la recta con la parte positiva del eje 0X es obtuso, la pendiente es negativa. r Si la recta es paralela al eje X, la pendiente es nula.

CÁLCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA Dados dos puntos distintos del plano: A (x1, y1) y B (x2, y2) entonces la PENDIENTE de la recta l que pasa por los puntos A y B, denotada por m, viene dada por la expresión: y1 – y2 x1 – x2   siempre que x1 ≠ x2 m = Ejemplo : Calculemos la pendiente de la recta que pasa por los puntos del plano A(2, -1) y B(5, 5) m = – 1 – 5 2 – 5 – 6 – 3 m = Hallemos la ecuación de la recta que tiene esta pendiente y que pasa por el punto A m = 2 ECUACIÓN DE LA RECTA Dado un punto del plano P(x1, y1), entonces la ECUACIÓN DE LA RECTA de pendiente m que pasa por el punto P viene expresada por la fórmula: y – y1 = m (x – x1) A(2, –1) y – (– 1) = 2(x – 2) y + 1 = 2x – 4 2x – 4 – y – 1 = 0 2x – y – 5 = 0 Si se conocen TRES puntos entonces se puede determinar la recta que pasa por ellos. ¿Cómo lo harías?

¿Cómo serán las PENDIENTES de éstas rectas? POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO ¿Cómo serán las PENDIENTES de éstas rectas? Existen sólo dos posiciones relativas de dos rectas en el plano: Las que se INTERSECTAN en un punto son RECTAS SECANTES. Las que NO SE INTERSECTAN son RECTAS PARALELAS. Rectas Perpendiculares: Su intersección forma cuatro ángulos rectos (90º). Rectas NO Perpendiculares: Su intersección no forma cuatro ángulos rectos.

l1 // l2  m1 = m2 x y 2x – y + 4 = 0 2 2 1 x + 2y – 4 = 0 y = 2x + 4 2 2 1 x + 2y – 4 = 0 Y X y = 2x + 4 4 -2 m1 = 2 y = 2x + 4 2 y = -x/2 + 4 y = -x/2 + 4 1 m2 = -1/2 2 m1 ∙ m2 = 2 ∙ (-1/2) m1 ∙ m2 = -1 Rectas Perpendiculares ( ┴ ) El producto de sus pendientes es igual a -1, l1 ┴ l2  m1 · m2 = -1 Rectas No Perpendiculares Sus pendientes son distintas, m1 ≠ m2. Rectas Paralelas (// ) Sus pendientes son iguales, l1 // l2  m1 = m2