Trigonometría
La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. La ley de senos nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triángulo es constante. Si observamos la figura 1, la ley de senos se escribirá como sigue:
Resolución de triángulos por la ley de los Senos Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos. Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de senos y/o la ley de cosenos. Todo dependerá de los valores conocidos. Ejemplo: Supongamos que en el triángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del del tercer lado y la medida de los otros dos ángulos. Solución:
LEY DE COSENOS La ley de cosenos se puede considerar como una extención del teorema de pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones:
Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos. Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los valores conocidos. Ejemplo: Supongamos que en el triángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del tercer lado.
Ejercicios Resolver por ley de coseno
solución
Resolver
Aplica ley Coseno para hallar el ángulo
Usa ley del Seno para encontrar los lados del Triangulo
solución
Resolviendo Problemas de Triángulos Selección del Método Como vimos en las lecciones de Ley de Senos y Ley de Cosenos, cuando resolvemos problemas que involucran triángulos podemos encontrar los siguientes casos: Si el triángulo es rectángulo, la mejor forma de resolverlo es usando las razones trigonométricas que aprendimos en la lecciónTrigonometría de Triángulos Rectángulos. Si el triángulo es oblicuo, entonces se pueden presentar los siguientes casos:
Es importante notar que para definir en forma única un triángulo debemos conocer al menos tres elementos del conjunto de sus lados y ángulos, entre los cuales debe estar incluido por lo menos uno de los lados. Resolver un triángulo significa encontrar todos los valores de sus lados y ángulos.
El siguiente árbol de decisiones nos ayudará a determinar el método adecuado para resolver un problema:
Problemas Verbales Ejemplo 1: Una persona de 6 pies de estatura, está parada a 20 pies de un poste de alumbrado público y proyecta una sombra de 10 pies de longitud. ¿Cuál es la altura de el poste? Solución: Ilustremos la situación que se describe en el problema: un persona que proyecta una sombra producida por un poste de alumbrado público. Sobre la gráfica anterior, ubiquemos los datos del problema:
Resolver
solucion