Transformaciones Isométricas Prof. Isaías Correa M.

APRENDIZAJES ESPERADOS Describir los cambios que presentan puntos o figuras planas, al aplicar una traslación, rotación o simetría. Resolver ejercicios que involucren transformaciones geométricas como: traslación, rotación y simetría.

Contenidos Transformaciones Isométricas 2. Tipos de Tranf. Isométricas 1.1 Definición 2. Tipos de Tranf. Isométricas 2.1 Simetría o reflexión - Simetría Axial - Simetría Central 2.2 Traslación 2.3 Rotación 3. Teselación

1. Transformaciones Isométricas Definición La palabra isometría, significa “igual medida”, por lo tanto, en una transformación isométrica: 1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura (figuras congruentes). 2) Sólo cambia la posición (orientación o sentido de ésta).

2. Tipos de Transformaciones Isométricas 2.1 Simetría o Reflexión Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a una figura geométrica, produce el efecto de un espejo (refleja la figura). Tipos de Simetrías: Simetría Axial: Reflexión respecto de un eje. Eje de Simetría

Cada punto y su imagen o simétrico equidistan del eje de simetría. En una simetría axial: Cada punto y su imagen o simétrico equidistan del eje de simetría. A A’ El trazo que une un punto con su simétrico es perpendicular al eje de simetría.

La Simetría axial corresponde a una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto A del plano, otro A’, tal que la recta que los une, es perpendicular a una recta fija llamada Eje de Simetría. Eje de Simetría: X=1 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 M A A’ AA’ es perpendicular al eje de simetría AM = MA’

Simetría Central: O O : centro de simetría AO = OA’ Reflexión respecto de un punto. O A´ A O : centro de simetría AO = OA’

La Simetría central corresponde a una transformación isométrica de modo que el “simétrico” de un punto A, con respecto a un punto O, es A`, donde OA = OA` y A`pertenece a la recta AO. Ejemplo: 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 B C OA = OA´ A O A´ OB = OB´ OC = OC´ C´ B´

En una simetría central: El centro de rotación es el punto medio del trazo que une un punto con su simétrico. A O A’ OBS: Una simetría central equivale a una rotación en torno al centro de simetría en un ángulo de 180º.

Resumiendo, las Simetrías en un sistema de ejes coordenados: En torno al eje X P  El simétrico de P(a,b) es P’(a,-b)  P’ En torno al eje Y El simétrico de P(a,b) es P’(-a,b) P’ P   En torno al origen P  El simétrico de P(a,b) es P’(-a,-b)  P’

2.2 Traslación Se puede considerar una traslación como el movimiento que se hace al deslizar una figura, en línea recta, manteniendo su forma y tamaño. Una traslación en el plano, corresponde a una aplicación T(a, b) que transforma un punto P(x,y), en otro P´(x + a, y + b ). T(a, b) P(x, y) P´( x + a, y + b ) Ejemplo 1: T(3, -5) P(2, 1) P´(2 + 3, 1 + -5) P´(5, -4)

La aplicación T(a, b) se denomina “VECTOR TRASLACIÓN” -1 1 2 3 4 y x 5 -3 -2 -4 -5 P P´ La aplicación T(a, b) se denomina “VECTOR TRASLACIÓN”

Ejemplo 2: El triángulo PQR, de vértices P(1,2), Q(3,1) y R(4,3) se “traslada” al aplicar el vector traslación T(-4,2), y las coordenadas de sus nuevos vértices son: P´, Q´ y R´. T(-4,2) P(1,2) P´(-3,4) Q(3,1) Q´(-1,3) R(4,3) R´(0,5)

Gráficamente, el triángulo se traslada 4 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba. 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 P(1,2) P´(-3,4) Q(3,1) Q´(-1,3) R(4,3) R´(0,5)

En una traslación: Al deslizar la figura todos los puntos describen líneas rectas paralelas entre sí.

En una traslación se distinguen tres elementos: Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo). Dirección (horizontal, vertical u oblicua). Magnitud del desplazamiento (distancia entre la posición inicial y final de cualquier punto)

Traslaciones en un sistema de ejes coordenados En este caso se debe señalar las coordenadas del vector de traslación. Estas son un par ordenado de números (x,y), donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical.

Traslaciones de puntos en el sistema cartesiano. Traslación de A(4,6) a través del vector v(-2,-3) B’(-1,6) A(4,6)   Traslación de B(-5,2) a través del vector v(4,4)  A’ (2,3)  B(-5,2) Traslación de C(-4,-2) a través del vector v(7,1) C’(3,-1)   C(-4,-2)

En la abscisa: En la ordenada: Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha. Signo negativo: desplazamiento hacia la izquierda. En la ordenada: Signo positivo: desplazamiento hacia arriba. Signo negativo: desplazamiento hacia abajo.

2.2 Rotación Corresponde a un movimiento circular con respecto a un centro de rotación y un ángulo. Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura. 0: centro de rotación < La rotación es positiva si es en sentido contrario a los punteros del reloj.

En una rotación se identifican tres elementos: El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno al cual se efectúa la rotación. La magnitud de rotación, que corresponde al ángulo, éste está determinado por un punto cualquiera de la figura, el centro de rotación (vértice del ángulo) y el punto correspondiente de la figura obtenida después de la rotación. El sentido de giro, positivo (antihorario), negativo (horario)

Rotación en el plano cartesiano: Si el punto A (x,y) gira con respecto al origen en 90°, 180°, 270° ó en 360°; se transforma en otro punto, cuyas coordenadas se indican en la siguiente tabla: 90° 180° 270° 360° A(x,y) Punto Ángulo (-y,x) (-x,-y) (y,-x) (x,y) Ejemplo 1: 90° 180° 270° 360° A(5,-8) Punto Ángulo (8,5) (-5,8) (-8,-5) (5,-8) En la rotación negativa, 90º equivale a 270º.

Rotación en el plano cartesiano: Si el punto A (x,y) gira con respecto a un punto P(h,k) en 90°, 180°, 270° ó en 360°; se transforma en otro punto, cuyas coordenadas se indican en la siguiente tabla: 90° 180° 270° 360° A(x,y) Punto Ángulo (h-y+k,x-h+k) (2h-x,2k-y) (h+y-k,k-x+h) (x,y) Ejemplo 1: P(2,3) 90° 180° 270° 360° A(5,-8) Punto Ángulo (13,6) (-1,14) (-9,0) (5,-8) En la rotación negativa, 90º equivale a 270º.

Ejemplo 2: Si el punto A (2,3) gira con respecto al origen en 90°, se transforma en el punto A´(-3,2). 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 A A´

Importante: Toda transformación isométrica, mantiene la forma y tamaño de una figura geométrica, por lo tanto el perímetro y el área no sufren variación.

3. Teselaciones Ejemplos: Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre completamente una superficie plana, de manera que no queden espacios y no se superpongan las figuras. Ejemplos: M.C. Escher

Teselación del plano por polígonos regulares Los tres polígonos regulares que recubren el plano son: Triángulo equilátero Cuadrado Hexágono regular Sólo estas tres figuras teselan regularmente el plano.

Las teselaciones se crean usando Transformaciones isométricas sobre una figura inicial. Simetría + Traslación