Colegio Divina Pastora (Toledo)

Presentación del tema: "Colegio Divina Pastora (Toledo)"— Transcripción de la presentación:

1 Colegio Divina Pastora (Toledo)
Temas GEOMETRÍA Colegio Divina Pastora (Toledo)

2 Ángulos de un polígono La suma de los ángulos de un triángulo es de 180º. La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180º · (n-2) Descartes

3 Triángulos: rectas y puntos notables Altura - Ortocentro
Altura: rectas perpendiculares desde cada vértice al lado opuesto o su prolongación. Ortocentro: punto donde se cortan las 3 alturas. Descartes

4 Mediatriz - Circuncentro
Mediatriz: rectas perpendiculares a cada lado en su punto medio. Circuncentro: punto donde se cortan las 3 mediatrices de un triángulo y que equidista de los 3 vértices y es el centro de la circunferencia circunscrita. Descartes

5 Bisectriz - Incentro Bisectriz: recta que pasa por el vértice y divide al ángulo en 2 partes iguales. Incentro: punto donde se cortan las 3 bisectrices y que equidista de los 3 lados y es el centro de la circunferencia inscrita. Descartes

6 Mediana - Baricentro Medianas: rectas que pasan por cada vértice y por el punto medio del lado opuesto. Baricentro: punto donde se cortan las 3 medianas. Descartes

7 Polígonos semejantes 2 triángulos son semejantes si:
Tienen sus lados iguales y sus lados proporcionales. Tiene 2 ángulos iguales. Tiene sus lados proporcionales. Tiene 2 lados proporcionales y el ángulo comprendido igual. 2 polígonos son semejantes si tienen los lados correspondientes iguales y sus ángulos correspondientes iguales. Descartes

8 Teoremas de Tales Toda recta paralela a un lado de un triángulo ABC, que corta a los otros 2 lados, determina un triángulo más pequeño AB’C’ semejante al triángulo original. Descartes1 Descartes2 Descartes3

9 Teoremas de Pitágoras Z = hipotenusa. X e Y = catetos En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Descartes

10 Lugar geométrico Cualquier conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad o condición. Ej. circunferencia.: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto interior llamado centro, siendo esta distancia el radio de la circunferencia.

11 Longitudes y áreas de figuras poligonales y circulares
Descartes1 Descartes2 Trapecio circular

12 VECTORES EN EL PLANO Vector: es todo segmento orientado en el espacio. Características: Módulo: es la longitud o tamaño del vector. Dirección: viene dada por la recta sobre la cuál está situado el vector. Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia que lado se dirige el vector. Descartes1 Descartes2 Queda determinado por unos ejes de coordenadas. Los componentes o coordenadas de un vector se averiguan con la fórmula: AB= B – A= (x‘-x, y‘-y).

13 VECTORES EQUIPOLENTES.
Los vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido. SUMA DE VECTORES La suma de los vectores AB (x, y) y BC (x‘, y‘) es el vector AC (x + x‘, y + y‘).

14 Traslaciones en el plano
La traslación es una transformación puntual por la cual a todo punto A del plano le corresponde otro punto A' también del plano de forma que A´= A + u . Siendo u el vector guía que define la traslación. Traslaciones de circunferencias: La homóloga de una circunferencia mediante una traslación es otra circunferencia de igual radio que tiene como centro el punto homólogo del centro de la circunferencia original. Traslaciones de polígonos La traslación es un movimiento, conserva las distancias y consiste en trasladar los vértices de dicho polígono. Descartes

15 Ejemplos En el dibujo, la figura 1 de la izquierda se transforma en la figura 2 de la derecha.  Como puedes observar, los vectores que unen cada punto de la figura 1 con sus transformados de la figura 2 (AA', BB', CC') tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Además, la figura 2 tiene la misma forma y el mismo tamaño que la figura 1.

16 Otro ejemplo Una traslación tiene el vector guía (3,-3); hallar la figura transformada cuyos vértices son: A (0,0) B(5,7) C (8,4) Resolución: A´=(0,0) +(3,-3)=(3,-3) B´=(5,7)+(3,-3)=(8,4) C´=(8,4)+(3,-3)=(11,1)

17 Giros en el Plano Definición
Un giro de centro 0 y ángulo α transforma un punto P del plano en otro del mismo plano tal que: OP = OP’ y α = POP’ Ejemplo: Gira 30º el punto P con centro de giro en O. Con centro en O y radio OP trazamos un arco. Con centro en O marcamos un arco de 30º. La recta r corta al arco en el punto girado P’. Descartes

18 GIROS SUCESIVOS. Ejemplo:
Al aplicar sucesivamente dos giros de igual centro O y amplitudes α y β se obtiene un giro de igual centro O y amplitud igual a la suma de las amplitudes α+β . Ejemplo: Dado un punto A, calculamos su transformado, A′, mediante un giro de centro O y ángulo 30°. Después, hallamos el transformado de A′ mediante otro giro con el mismo centro y ángulo 60°. 1. Aplicamos el primer giro para obtener A′. 2. Aplicamos el segundo giro sobre A′.

19 Simetrías. Axial: Esta simetría se halla a través de un eje representado por una recta. Dicho eje es la mediatriz de los segmentos determinados por los pares de los puntos que resultan simétricos. Descartes

20 Simetría central. a) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría. b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta. Una simetría central, de centro el punto O, es un movimiento del plano con el que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendo O el punto medio del segmento de extremos P y P'. 20

21 SIMETRÍAS Y COORDENADAS
Dos puntos son simétricos respecto del eje OY si sus abscisas son opuestas y sus ordenadas son iguales Dos puntos son simétricos respecto del eje OX si sus abscisas son iguales y sus ordenadas son opuestas

22 SIMETRÍAS Y COORDENADAS
Dos puntos son simétricos respecto del origen si sus abscisas y sus ordenadas son opuestas

23 POLIEDROS ELEMENTOS: Caras: son los polígonos que limitan el cuerpo. Aristas: son los segmentos en los que se encuentran dos caras. Dos caras tienen una arista en común. Vértices: son los puntos del poliedro en los que se reúnen tres o más aristas. En los polígonos convexos, el número de caras (C), vértices (V) y aristas (A) verifican la siguiente relación: C+V = A+2 Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula de Euler. Descartes1 Descartes2 Un poliedro regular tiene todos sus ángulos iguales y sus caras son polígonos regulares iguales. Sólo existen cinco poliedros regulares: Descartes

24 1.Tetraedro Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales. 2. Cubo Su superficie está constituida por 6 cuadrados

25 3. Octaedro 4. Dodecaedro 5. Icosaedro
Su superficie consta de ocho triángulos equiláteros. 4. Dodecaedro Su superficie consta de 12 pentágonos regulares. 5. Icosaedro Su superficie consta de veinte triángulos equiláteros.

26 PRISMAS: Un prisma es un poliedro que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos. Descartes ELEMENTOS

27 Los paralelepípedos son prismas cuyas bases son paralelogramos.
Ortoedro: Con caras rectangulares. Cubo: Con caras cuadrados Teorema de Pitágoras en el espacio:

28 PIRÁMIDES: Poliedros cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide. ELEMENTOS DE UNA PIRÁMIDE Descartes

29 Cilindro CUERPOS REDONDOS

30 Esfera Descartes

31 Cono

32 Áreas y volúmenes Prisma Pirámide Cilindro Cono Esfera Área AT=AL+2AB AL= p · h 2лrh+2лr2 Лrg+лr2 4лR2 Volumen B· h лr2h Para calcular el área y volumen de cuerpos compuestos hay que descomponerlos en cuerpos simples. Descartes1 Descartes2 Descartes3

33 La Tierra Meridianos y husos
Los meridianos son líneas imaginarias que son los círculos máximos de la esfera terrestre que pasan por los Polos. Cada una de las partes de la superficie esférica limitada por dos meridianos se llama huso. La Tierra se divide en 24 husos que se llaman husos horarios. Descartes Polo Norte Polo Sur Meridiano Paralelo Huso horario Meridiano de Greenwich 33

34 El ecuador es el único paralelo que es una circunferencia máxima.
Paralelos y zonas Los paralelos son circunferencias tales que el plano que las contiene es perpendicular al eje terrestre. El ecuador es el único paralelo que es una circunferencia máxima. La parte de la superficie terrestre comprendida entre dos paralelos se llama zona. Existen cinco paralelos notables o principales que se corresponden con una posición concreta de la Tierra en su órbita alrededor del Sol y que, por ello, reciben un nombre particular: Circulo polar ártico Trópico de cáncer Ecuador Trópico de capricornio Círculo Polar Antártico N Ecuador paralelos zona S 34

35 Coordenadas geográficas
Para determinar la posición de un punto en la tierra se utiliza el sistema de coordenadas, que este formado por el Ecuador y el Meridiano de Greenwich. El origen del sistema es el punto de corte del Meridiano de Greenwich con el Ecuador. Su unidad de medida es el grado. Cualquier punto se determina en dos coordenadas: la latitud y la longitud. La longitud de un lugar M es la medida en grados del arco, medido en el ecuador, formado por el meridiano del lugar y el meridiano de Greenwich. La longitud varia de 0º a 180º en dirección este y de 0º a 180º en dirección oeste. La latitud de M es la medida en grados del arco, medido en el meridiano del lugar, formado por el ecuador y el paralelo del lugar. La latitud varia de 0º a 90º en dirección norte en el hemisferio norte y de 0º a 90º en dirección sur, en el hemisferio sur. Todos los puntos de un mismo meridiano tiene la misma longitud. Todos los puntos del mismo paralelo tienen la misma latitud. 35