Introducción a la Estadística
Introducción a la Estadística Descripción de los conjuntos de datos Uso de la Estadística para sintetizar conjuntos de datos Probabilidad Variables aleatorias discretas Variables aleatorias normales
Variables aleatorias discretas 5.1 Introducción 5.2 Variables aleatorias 5.3 Valor esperado 5.4 Varianza de las variables aleatorias 5.5 Variables aleatorias binomiales
Los procesos aleatorios Sistemas deterministas Sistemas deterministas muy complejos Sistemas intrínsecamente probabilistas
El marco teórico de la estadística descriptiva Población Espacio muestra
El marco teórico de la estadística descriptiva Estadísticos muestrales Valor esperado, varianza, etc.
Variables aleatorias discretas 5.1 Introducción 5.2 Variables aleatorias 5.3 Valor esperado 5.4 Varianza de las variables aleatorias 5.5 Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias
Variables aleatorias A menudo, cuando se lleva a cabo un experimento aleatorio, no se está interesado en todos los detalles del resultado, sino que, por el contrario, el interés se centra en el valor de ciertas magnitudes numéricas determinadas por el mismo.
Variables aleatorias Cuando se lanzan varios dados, uno puede estar interesado en conocer cuál es la suma obtenida, y no en los resultados concretos obtenidos con cada dado.
Variables aleatorias Puede que un inversionista no esté interesado en conocer todas las variaciones que se han producido a lo largo del día en el precio de una acción, sino que, por el contrario, sólo le interesa saber el precio al final del día.
Variables aleatorias Estas magnitudes de interés que vienen determinadas por el resultado del experimento se conocen como variables aleatorias.
Variables aleatorias Una variable aleatoria se define matemáticamente como una función que tiene como dominio el espacio muestral y como contradominio los números reales.
Variables aleatorias Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada elemento del espacio muestral de un experimento.
Variables aleatorias Una variable aleatoria asocia un valor numérico con cada resultado de un experimento. A las variables aleatorias normalmente se les representa por letras como X o Y.
Variables aleatorias Una variable aleatoria asocia un valor numérico con cada resultado de un experimento. Se les representa por letras como X o Y. El valor que toma la variable aleatoria al realizar el experimetno se denota con la correspondiente letra minuscula.
También se les llama variables estocásticas o variables azarosas. Variables aleatorias Una variable aleatoria asocia un valor numérico con cada resultado de un experimento. También se les llama variables estocásticas o variables azarosas.
Variables aleatorias Una variable aleatoria asocia un valor numérico con cada resultado de un experimento. Sería más correcto llamarles funciones aleatorias o funciones estocásticas. Así lo hacen algunos libros, aunque lo más usual es llamarles variables aleatorias.
Variables aleatorias Una variable aleatoria asocia un valor numérico con cada resultado de un experimento. Puesto que el valor de la variable aleatoria depende del resultado el experimento, se pueden asignar probabilidades a sus posibles valores.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Variables aleatorias discretas Se dice que una variable aleatoria es discreta si sus posibles valores forman una sucesión de puntos separados de la recta real.
Variables aleatorias discretas Se dice que una variable aleatoria es discreta si sus posibles valores forman una sucesión de puntos separados de la recta real. Cualquier variable aleatoria que tome un número finito de valores distintos es discreta.
Variables aleatorias discretas Se dice que una variable aleatoria es discreta si sus posibles valores forman una sucesión de puntos separados de la recta real. Cualquier variable aleatoria que tome un número infinito numerable de valores distintos es discreta.
Variables aleatorias discretas
Variables aleatorias discretas: Distribución de probabilidad
Distribución de probabilidad
Distribución de probabilidad
Variables aleatorias discretas: Distribución de probabilidad
Características de la distribución de probabilidad de una variable discreta
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Porcentaje de familias Hijos Porcentaje de familias 10% 1 25% 2 50% 3 4 5% 100%
Porcentaje de familias Hijos Porcentaje de familias 10% 1 25% 2 50% 3 4 5% 100%
x 1 2 3 4 P(x) 0.10 0.25 0.50 0.05
x 1 2 3 4 P(x) 0.10 0.25 0.50 0.05
x 1 2 3 4 P(x) 0.10 0.25 0.50 0.05
x 1 2 3 4 P(x) 0.10 0.25 0.50 0.05
x 1 2 3 4 P(x) 0.10 0.25 0.50 0.05
Ejemplo 4
Suma Formas posibles Probabilidad 2 1 0.0278 3 0.0556 4 0.0833 5 0.1111 6 0.1389 7 0.1667 8 9 10 11 12 36 1.0000
Función de distribución de probabilidad acumulativa
Función de distribución de probabilidad acumulativa
Función de distribución de probabilidad acumulativa
Ejemplo 1
x 1 2 3 4 P(x) 0.10 0.25 0.50 0.05
x 1 2 3 4 p(x) 0.10 0.25 0.50 0.05 F(x) 0.35 0.85 0.95 1.00
x 1 2 3 4 p(x) 0.10 0.25 0.50 0.05 F(x) 0.35 0.85 0.95 1.00
x 1 2 3 4 P(x) 0.10 0.25 0.50 0.05
Ejemplo 2
Suma Formas posibles Probabilidad 2 1 0.0278 3 0.0556 4 0.0833 5 0.1111 6 0.1389 7 0.1667 8 9 10 11 12 36 1.0000
Probabilidad acumulada Suma Formas posibles Probabilidad Probabilidad acumulada 2 1 0.0278 3 0.0556 0.0833 4 0.1667 5 0.1111 0.2778 6 0.1389 0.4167 7 0.5833 8 0.7222 9 0.8333 10 0.9167 11 0.9722 12 1.0000
Variables aleatorias discretas 5.1 Introducción 5.2 Variables aleatorias 5.3 Valor esperado 5.4 Varianza de las variables aleatorias 5.5 Variables aleatorias binomiales
El valor esperado
El valor esperado
Definición de el valor esperado
El valor esperado
El valor esperado
El valor esperado Otra motivación para la definición del valor esperado se basa en la interpretación frecuentista de las probabilidades.
El valor esperado Otra motivación para la definición del valor esperado se basa en la interpretación frecuentista de las probabilidades.
La media muestral
Comparación de la media muestral con el valor esperado
Comparación de la media muestral con el valor esperado
El valor esperado
El valor esperado
El valor esperado
El valor esperado
El valor esperado
El valor esperado
El valor esperado
Ejemplo: La ruleta
El valor esperado
Ejemplo 1
x 1 2 3 4 P(x) 0.10 0.25 0.50 0.05
x 1 2 3 4 P(x) 0.10 0.25 0.50 0.05 x 1 2 3 4 P(x) 0.10 0.25 0.50 0.05 xP(x) 0.00 1.00 0.30 0.20 1.75
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
El valor esperado como centro de gravedad de la distribución
El valor esperado como centro de gravedad de la distribución
El valor esperado como centro de gravedad de la distribución
El valor esperado como centro de gravedad de la distribución
El valor esperado como centro de gravedad de la distribución
Propiedades del valor esperado
Propiedades del valor esperado
Propiedades del valor esperado
Propiedades del valor esperado
Propiedades del valor esperado
Propiedades del valor esperado
Propiedades del valor esperado
Propiedades del valor esperado
Propiedades del valor esperado
Propiedades del valor esperado
Propiedades del valor esperado
Ejemplo
Ejemplo
Variables aleatorias discretas 5.1 Introducción 5.2 Variables aleatorias 5.3 Valor esperado 5.4 Varianza de las variables aleatorias 5.5 Variables aleatorias binomiales
Varianza de las variables aleatorias Resulta útil resumir las propiedades de una variable aleatoria por medio de un número reducido de medidas elegidas adecuadamente. Una de tales medidas es el valor esperado.
Varianza de las variables aleatorias Aunque el valor esperado representa la media ponderada de todos los valores posibles de la variable aleatoria, no proporciona información alguna acerca de la variación, o dispersión, de dichos valores.
Varianza de las variables aleatorias
Varianza de las variables aleatorias
Varianza de las variables aleatorias
Varianza de las variables aleatorias
Varianza de las variables aleatorias
Definición de la varianza de las variables aleatorias
Definición de la varianza de las variables aleatorias
Propiedades de la varianza
Propiedades de la varianza
Propiedades de la varianza
Propiedades de la varianza
Propiedades de la varianza
Propiedades de la varianza
Variables aleatorias independientes
Variables aleatorias independientes
La varianza de variables aleatorias independientes
La varianza de variables aleatorias independientes
Definición de la desviación típica o estandar
Definición de la desviación típica o estándar
Definición de la desviación típica o estándar
Ejemplo
Variables aleatorias discretas 5.1 Introducción 5.2 Variables aleatorias 5.3 Valor esperado 5.4 Varianza de las variables aleatorias 5.5 Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales Ejemplo
Variables aleatorias binomiales Ejemplo
Variables aleatorias binomiales
Variables aleatorias binomiales
Ejemplo 1
i p(i) 0.000977 1 0.00977 2 0.0439 3 0.117 4 0.205 5 0.246 6 7 8 9 10 1.000
i p(i) 0.000977 1 0.00977 2 0.0439 3 0.117 4 0.205 5 0.246 6 7 8 9 10 1.000
Ejemplo 2
i p(i) 0.410 1 2 0.154 3 0.026 4 0.002 1.000
Ejemplo 3
i p(i) 0.1122 1 0.2692 2 0.2961 3 0.1974 4 0.0888 5 0.0284 6 0.0066 7 0.0011 8 0.0001 9 0.0000 10 11 12 1.0000
Más ejemplos de distribuciones binomiales
i p(i) 0.34868 1 0.38742 2 0.19371 3 0.05740 4 0.01116 5 0.00149 6 0.00014 7 0.00001 8 0.00000 9 10 1.00000
i p(i) 0.00000 1 2 3 0.00001 4 0.00014 5 0.00149 6 0.01116 7 0.05740 8 0.19371 9 0.38742 10 0.34868 1.00000
i p(i) 0.00000 11 0.16018 1 0.00002 12 0.12013 2 0.00018 13 0.07393 3 0.00109 14 0.03696 4 0.00462 15 0.01479 5 16 6 17 7 18 8 19 9 20 10 0.17620
i p(i) 0.35849 11 0.00000 1 0.37735 12 2 0.18868 13 3 0.05958 14 4 0.01333 15 5 0.00224 16 6 0.00030 17 7 0.00003 18 8 19 9 20 10