Lógica Matemática Mate 3041 Universidad de Puerto Rico Recinto de Bayamón Prof. Juan L. Vélez Prof. José A. Toro Clarke Lógica Matemática

Proposiciones y Cuantificadores Definición: Una oración declaratoria (o afirmación) que es falsa o verdadera, pero no ambas, se llama proposición. Oraciones exclamativas, interrogativas o imperativas por naturaleza no son proposiciones.

Ejemplos: Ponce es la capital de Puerto Rico 2 + 2 = 3 ¿Qué hora es? x + y = z Proposición Proposición No es una Proposición; oración interrogativa No es una Proposición; desconocemos x, y, z

Ejemplos: Tome una taza de café Nota: “Tomé una taza de café”. Si es una proposición Alex Rodríguez es mejor jugador de beisbol que Dereck Jeter. No es una Proposición; oración imperativa No es una Proposición

Proposiciones Compuestas Definición: Una proposición es compuesta cuando se forma por la combinación de dos o más proposiciones usando conectivos lógicos. Conectivos y sus respectivos símbolos tales como:

Ejemplos de proposiciones compuestas Leo el nuevo Día y leo el Vocero. Si él lo dijo, entonces es cierto. Mañana será Domingo. Nota: “Mañana no será Domingo”. Aunque no consta de dos proposiciones, para conveniencia se considera compuesta ya que su valor de verdad depende de una proposición diferente. “Mañana será Domingo”. Compuesta; conectivo y Compuesta; conectivo si…entonces No es compuesta

Ejemplos de proposiciones compuestas La firma de abogados que atendió el caso se llamó Goldman Antonetti y Cordóva, P.S.C No es compuesta; y no es un conectivo en este caso por que y es parte del nombre de la firma de abogados

Símbolos de la Lógica Matemática disyunción p y q: proposición compuesta que es falsa cuando ambas p y q son falsas y verdadera en otro caso. p q F conjunción p y q: proposición compuesta que es verdadera cuando tanto como p y q son verdadera y falsa en otro caso. p q T

Símbolos de la Lógica Matemática negación de p : proposición formada al escribir “no es el caso que” o “es falso que” antes de p o al insertar la palabra “no” de manera adecuada en p. p T F “si p entonces q” : proposición compuesta condicional la cual es falsa cuando p es verdadera y q es falsa, y verdadera en otro caso p q T F

Símbolos de la Lógica Matemática “p si y sólo si q” : proposición compuesta bicondicional la cual es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y falsa en caso contrario. p q T F P y Q son lógicamente equivalentes: proposiciones compuestas y son lógicamente equivalentes si tienen tablas de verdad idénticas. A esto es lo que se le conoce como una tautología.

Símbolos de la Lógica Matemática “por lo tanto” “para todo” Cuantificadores “existe” Cuantificadores universales: todo, cada uno, todos, ninguno Cuantificadores existenciales: hay, al menos uno

Uso de conectivos lógicos Sean p que representa “Hoy estamos a 80F”, q que representa “Hoy es martes”. Transcriba cada proposición simbólica en palabras Hoy estamos a 80F o es martes. Hoy no estamos a 80F y es martes. No es el caso que hoy estemos a 80F o que sea martes. Ésta proposición se puede traducir como “ni p ni q” o

Uso de conectivos lógicos Sean p que representa “Hoy estamos a 80F”, q que representa “Hoy es martes”. Transcriba cada proposición simbólica en palabras No es el caso que hoy estemos a 80F y sea martes.

Uso de conectivos lógicos Ejemplo: Proporcione la negación de cada desigualdad sin usar los símbolos o .

Orden de prioridad de los conectivos lógicos Se usará generalmente paréntesis para especificar el orden en que se aplicarán los operadores lógicos. De no haber paréntesis, se adopta el siguiente orden de prioridad. Conectivo Prioridad 1 2 3 4 5

Tablas de verdad Una proposición lógica con n componentes tendrá renglones en su tabla de verdad. T F Nota: p proposición (1 componente): renglones.

Tablas de verdad T F T F renglones disyunción p y q: proposición compuesta que es falsa cuando ambas p y q son falsas y verdadera en otro caso. renglones T F conjunción p y q: proposición compuesta que es verdadera cuando tanto como p y q son verdadera y falsa en otro caso.

Tablas de verdad T F “si p entonces q” : proposición compuesta condicional la cual es falsa cuando p es verdadera y q es falsa, y verdadera en otro caso T F “p si y sólo si q” : proposición compuesta bicondicional la cual es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y falsa en caso contrario.

Tautología y Contradicción Una proposición compuesta Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de y contradicción si es falsa. Proposiciones elementales T F

Tautología y Contradicción Una proposición compuesta Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de y contradicción si es falsa. Proposiciones elementales T F

Tautología y Contradicción Una proposición compuesta Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de y contradicción si es falsa. Proposiciones elementales T F

Tautología y Contradicción Una proposición compuesta Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de y contradicción si es falsa. Proposiciones elementales T F Es una tautología Es una contradicción

Proposiciones equivalentes F

Proposiciones equivalentes F

Proposiciones equivalentes F

Proposiciones equivalentes F

Proposiciones equivalentes F

Proposiciones equivalentes F

Proposiciones equivalentes F entonces

Leyes del álgebra de proposiciones Ley de idempotencia Ley de identidad Prueba: Suponga que p es verdadero, entonces Suponga que p es falso, entonces

Leyes del álgebra de proposiciones Ley dominante Prueba:

Leyes del álgebra de proposiciones Ley de complemento Ley conmutativa Ley asociativa

Leyes del álgebra de proposiciones Ley distributiva Ley de absorción Ley de De Morgan