DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Prof. Luis Martínez Catalán 2008

DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS TEOREMA: Si la función tiene derivada en “a”;entonces, es continua en “a” Nota: 1) El recíproco del teorema anterior, no siempre es válido, es decir, una función continua en un punto no implica que tenga derivada en el punto. 2) Una función es diferenciable en si tiene derivada en ese punto y es única. 3) Una función es diferenciable en un intervalo cerrado , si tiene derivada en cada punto del intervalo abierto

FORMULAS DE DERIVACION Derivación es el proceso de hallar la derivación de una función diferenciable - Derivada de la función CONSTANTE ; - Entonces, - Derivada de la función POLINOMIAL Una expresión de la forma donde es un entero positivo y los coeficientes son números. Se llama polinomio en x

El grado de un polinomio es el de la mayor potencia en el polinomio. Una expresión del tipo , con , que puede escribirse como el cuociente de dos polinomios, se define como una función racional en x. Si se tiene una función polinomial en que entonces se tiene: y su derivada es

Si tiene derivada entonces, , tiene por derivada Es decir, “la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de una función”. Si y tienen derivadas y si , entonces,

- Derivada de un producto En general Si Entonces Es decir, combinando las fórmulas anteriores podemos calcular la derivada de cualquier función polinomial en x. Ej: Hallar la derivada de Solución:

- Derivada de un producto Si y y entonces, Ej: Hallar la derivada de y evaluar para Solución: Si

- Derivada de un cuociente Si con entonces, Ej: Determinar la derivada de

Solución:

- Si es un entero positivo, , entonces, la derivada de entero positivo o negativo, entonces, Ejemplos: Derivar: 1)

2) 3) 4)

TEOREMA (REGLA DE LA CADENA) Supóngase que , con , es decir, , y que y son derivables. entonces, es derivable y es válida la fórmula

Corolario: Sí , entero, entonces, Sí , con , entonces, En la regla de la cadena, es la variable independiente, es la variable intermedia, e es la variable dependiente.

La regla de la cadena, se puede extender a funciones del tipo siguiente: Sí , con y con Ej: Encontrar en Solución: Nótese que si se puede escribir Derivando , pero Además,

Entonces, por la Regla de la Cadena , pero

Ejercicios I) Calcular los siguientes límites 1) 5) 2) 6) 3) 7) 4)

II) Estudie la continuidad de las siguientes funciones en todo su dominio. Redefina si es necesario. , i) R. es continua en todo su dominio , , es discontinua en Hay que redefinir ii) , , Sí iii) es continua en todo su dominio , Sí

III) Obtenga la derivada de las siguientes funciones 1) R. 2) R. 3) R.

R. 4) 5) R.