Fórmulas de los triángulos esféricos rectángulos [Tema 3]

Triángulo esférico rectángulo

* Fórmula de los cosenos de los lados 3.1. Fórmulas obtenidas a partir de las fórmulas generales. Se considera A = 90º. * Fórmula de los cosenos de los lados Partiendo de: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos 90º cos a = cos b cos c El coseno de la hipotenusa es igual al producto de los cosenos de los catetos.

* Fórmula de los senos. sin b = sin a sin B sin c = sin a sin C Partiendo de: y sin b = sin a sin B sin c = sin a sin C “El seno de un cateto = seno de la hipotenusa X seno del ángulo opuesto”

Fórmulas de las tangentes de los catetos (I) Partimos de las fórmulas: ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A ctg a sin b = cos b cos C ctg a sin c = cos c cos B y tg b = tg a cos C tg c = tg a cos B “ La tangente de un cateto” = “tangente de hipotenusa” x “coseno ángulo comprendido entre ambos”

Fórmulas de las tangentes de los catetos (II) Partimos de las fórmulas: ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B ctg c sin b = cos b cos A + sin A ctg B ctg b sin c = ctg B ctg a sin c = ctg B y tg b = sin c tg B tg c = sin b tg C “ La tangente de un cateto” = “seno del otro” x “tangente del ángulo opuesto al primero”

Fórmulas “hipotenusa-ángulo-lado” Partimos de las fórmulas: ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A ctg a sin b = cos b cos C ctg a sin c = cos c cos B cos C = ctg a tg b cos B = ctg a tg c “El coseno de un ángulo” = “cotangente de la hipotenusa” x “tangente del lado opuesto al otro ángulo”

Fórmula “hipotenusa-los dos ángulos adyacentes” Partimos de la fórmula: cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a → 0 = - cos B cos C + sin B sin C cos a → sin B sin C cos a = cos B cos C cos a = ctg B ctg C “ El coseno de la hipotenusa es igual al producto de las contangentes de los dos ángulos adyacentes”

Fórmulas “catetos-ángulo-ángulo” Partimos de las fórmulas: cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos b cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c → cos B = sin C cos b cos C = sin B cos c “El coseno de un ángulo” = “seno del otro ángulo” x “coseno del lado opuesto al primero”

3. 2 Obtención de las fórmulas para los tr 3.2 Obtención de las fórmulas para los tr. Rectángulos esféricos por medio del pentágono de Neper. Primera Regla Si los tres elementos se hallan seguidos: “Cos del central” = “Cotg del izquierdo” x “Cotg del derecho”

Si uno de los elementos se halla separado de los otros dos” Pentágono de Neper Segunda Regla Si uno de los elementos se halla separado de los otros dos” “Cos del separado” = “Sen de coaligado 1º” x “Sen del coaligado 2º”

→ (segunda regla de Neper) Algunos ejemplos. Ejemplo 1. Relacionar a, b y c. → (segunda regla de Neper) cos a = sin(90º - b) sin(90º - c) → cos a = cos b cos c Ejemplo 2. Relacionar c, a y C. → (segunda regla de Neper) cos (90º - c) = sin a sin C → sin c = sin a sin C

→ (Primera regla de Neper) Ejemplo 3. Relacionar a, b y C. → (Primera regla de Neper) cos C = ctg a ctg (90º - b) → cos C = ctg a tg b → tg b = tg a cos C Ejemplo 4. Relacionar a, B y C. → (primera regla de Neper) cos a = ctg B ctg C

3.3. Propiedades de los triángulos esféricos rectángulos. 1) Ninguno de sus lados puede ser cuadrantal (90º). cos a = ctg B ctg C ; ctg B ≠ 0, ctg C ≠ 0 (Suponiendo no birrectángulo) 2) Lado y ángulo opuesto son de la misma especie (ambos menores o mayores que 90º) tg b = sin c tg B → Al ser sin c = (+) , tg b y tg B el mismo signo → b<90º y B<90º ó b>90º y B>90º . 3) O los tres lados son menores(*) de 90º, o sólo uno de ellos es menor de 90º. cos a = cos b cos c → (+) = (+) . (+) → a, b, c < 90º (+) = (-) . (-) → a<90º, b,c>90º (-) = (+) . (-) y (-) = (-) . (+) → un lado < 90º

4) Si los catetos son de la misma especie → hipotenusa aguda Si “ “ “ “ “ “ distinta “ → hipotenusa obtusa cos a = cos b cos c → cos a = (+) . (+) = (+) → a < 90º (aguda) cos a = (+) . (-) = (-) → a > 90º (obtusa) cos a = (-) . (+) = (-) → a > 90º cos a = (-) . (-) = (+) → a < 90º 5) Un cateto es menor que su ángulo opuesto si ambos son < 90º. Un cateto es mayor que su ángulo opuesto si ambos son > 90º. sin b = sin a sin B → Como sin b < 1 → sin b < sin B → b < B (primer cuadrante) b > B (segundo cuadrante)

6) La hipotenusa está comprendida entre cada uno de los catetos y sus suplementarios. sin b = sin a sin B → → sin b < sin a a y b en el cuadrante I: b < a < 180º - b a en cuadrante I y b en cuadrante II: b > a > 180º - b 7) La suma de los dos ángulos oblicuos está entre 90º y 270º. La diferencia de “ “ “ “ es menor que 90 º. Según las propiedades de los triángulos esféricos: A + B + C > 180º y 180º + A > B + C Siendo A = 90º → 90º + B + C > 180º y 180º + 90º > B + C es decir, 90º < B + C < 270º