Curso de Estadística Básica SESION 3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y MEDIDAS DE DISPERSIÓN MCC. Manuel Uribe Saldaña MCC. José Gonzalo Lugo Pérez

Objetivo Conocer y calcular las medidas de tendencia central y medidas de dispersión

Agenda Sesión 2 Medidas de tendencia central Medidas de dispersión Media Mediana Moda Rango Medio Medidas de dispersión Rango Varianza Desviación estándar

Estadística descriptiva Medidas de tendencia central Medidas de dispersión Medidas de posición Tipos de distribución

Medidas de tendencia central Son valores numéricos que localizan, de alguna manera, el centro de un conjunto de datos. El término promedio a menudo es asociado con todas las medidas de tendencia central. Media Mediana Moda Rango Medio

Media Se representa por x (se lee como “x barra” o “ media de la muestra”). Es la suma de todos los valores de la variable x (la suma de valores x se simboliza como Σx) y dividiendo entre el número de estos valores, n. Lo anterior se expresa con una fórmula como: suma de x Media de la muestra: x barra = número x = Σx n

Ejemplo Un conjunto de datos consta de cinco valores: 6, 3, 8, 6 y 4. Encuentre la media. Solución Σx 6 + 3 + 8 + 6 + 4 27 x = = = = 5.4 n 5 5

Media 2 3 4 5 6 7 8 x = 5.4 Centro de gravedad o punto de equilibrio

Mediana Valor de los datos que ocupa la posición central cuando los datos se ordenan según su tamaño. Se representa por x (se lee como “x tilde” o “mediana de la muestra”).

Procedimiento para encontrar la mediana Ordene los datos Determine la profundidad de la mediana La profundidad (número de posiciones a partir de cualquier extremo), o posición, de la mediana se determina con la siguiente fórmula: La profundidad (o posición) de la mediana se encuentra al sumar los números de posición de los valores de los datos más pequeños (1) y más grandes (n) y dividir el resultado entre 2. (n es el mismo número que la cantidad de porciones de los datos). Profundidad de la mediana = número + 1 2 d( x ) = n + 1 2

Procedimiento para encontrar la mediana Determine el valor de la mediana. Contar los datos ordenados, localizando el dato que está en la d(x)-ésima posición. La mediana será la misma sin importar a partir de cuál extremo de los datos (máximo o mínimo) ordenados se cuente.

Ejemplo Encuentre la mediana del conjunto de datos {6, 3, 8, 5, 3} Los datos, ordenados de manera creciente, son 3, 3, 5, 6, 8 Profundidad de la mediana: d(x) = (n+1)/2 = (5 + 1)/2 = 3 Es decir, la mediana es el tercer número desde cualquier extremo en los datos ordenados, o bien, x = 5. Observe que la mediana esencialmente separa el conjunto de datos ordenado en dos subconjuntos de igual tamaño. 3 5 6 8 x = 5

Nota… El valor de d(x) es la profundidad de la mediana, NO el valor de la mediana, x. Como se muestra en el anterior ejemplo, cuando n es impar, la profundidad de la mediana, d(x), siempre es un entero. Sin embargo, cuando n es par, la profundidad de la mediana, d(x), siempre es la mitad de un número entero.

Ejemplo Encontrar la mediana de la muestra {9, 6, 7, 9, 10, 8} Los datos, ordenados de manera creciente, son 6, 7, 8, 9, 9, 10 Profundidad de la mediana: d(x) = (n+1)/2 = (6+1)/2 = 3.5 Es decir, la mediana está a la mitad entre las porciones de datos tercera y cuarta. Para encontrar el número situado a la mitad de dos valores cualesquiera, se suman los dos valores y el resultado se divide entre 2. En este caso, se suman el tercer valor (8) y el cuarto valor (9), luego se divide entre 2. La mediana es 8.5. Observe que de nuevo la mediana separa el conjunto de datos ordenados en dos subconjuntos del mismo tamaño. 9 6 7 8 9 10 x = 8.5

Moda Es el valor de x que ocurre más frecuentemente

Rango Medio Número que está exactamente a la mitad del camino entre un dato con menor valor Mín y un dato con mayor valor Máx. Se encuentra promediando los valores mínimo y máximo. Rango Medio = valor mínimo + valor máximo 2 Rango Medio = Mín + Máx 2

Nota… Las cuatro medidas de tendencia central representan cuatro métodos distintos para describir el centro. Estos cuatro valores pueden ser iguales, aunque es más probable que sean diferentes. Para los datos muestrales 6, 7, 8, 9, 9, 10, la media es 8.2, la mediana es 8.5, la moda es 9 y el rango medio es 8. 9 6 7 8 9 10 8 8.2 8.5 9

Media

Mediana

Moda

Rango Medio

Ejercicios Considere la muestra 2, 4, 7, 8, 9. Encuentre: La media La mediana La moda El rango medio A 15 estudiantes universitarios, elegidos aleatoriamente, se les solicitó mencionar el número de horas que durmieron la noche anterior. Los datos resultantes fueron, 5, 6, 6, 8, 7, 7, 9, 5, 4, 8, 11, 6, 7, 8, 7. Encontrar:

Ejercicios A los reclutas de una academia de policía se les solicitó presentar un examen que mide la capacidad que tienen para hacer ejercicio. Esta capacidad (medida en minutos) se obtuvo para cada uno de los 20 reclutas: Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango medio. Elabore una gráfica de barras para estos datos y localice la media, la mediana, la moda y el rango medio sobre la gráfica. Describa la relación que hay entre los cuatro promedios (semejanza) y qué propiedades muestran los datos por las que dichos promedios son semejantes

Estadística descriptiva Medidas de tendencia central Medidas de dispersión Medidas de posición Tipos de distribución

Medidas de dispersión Valores que describen la cantidad de variabilidad que se encuentra entre los datos: datos bastante agrupados poseen valores relativamente pequeños, y datos más dispersos tienen valores más grandes. El agrupamiento más estrecho ocurre cuando los datos carecen de dispersión (ya que todos los datos tienen el mismo valor), para los cuáles la medida de dispersión es cero. Las medidas de dispersión incluyen: Rango Varianza Desviación Estándar

Rango Es la diferencia en valor entre las porciones de datos de mayor valor (Máx) y de menor valor (Mín): rango = Máx - Mín

Ejemplo El rango de la muestra 3, 3, 5, 6, 8 es Máx – Mín = 8 – 3 = 5

Desviación con respecto a la media Una desviación de la media, x – x, es la diferencia entre el valor de x y la media x. x > x Desviación positiva x < x Desviación negativa x = x

Ejemplo Considere la muestra 6, 3, 8, 5, 3. Calcular la desviación con respecto a la media de cada valor de la muestra. Σx x = = 5 n Datos x 6 3 8 5 3 Desviación x - x 1 -2 3 -2

Varianza de la muestra La varianza de la muestra, s2, es la media de las desviaciones al cuadrado, calculada usando como divisor a n-1. s2 = Σ(x – x)2 n - 1 Donde n es el tamaño de la muestra, es decir, el número de datos que hay en la muestra

Ejercicio Calcular la varianza para la muestra {6, 3, 8, 5, 3} Paso 1. Calcula Σx Paso 2. Calcula x Paso 3. Calcula x – x Paso 4. Calcula Σ(x – x)2 Paso 5. Calcula la varianza

Cálculo de la varianza

Ejercicio Calcular la varianza para la muestra {1, 3, 5, 6, 10}

Desviación estándar La desviación estándar de una muestra, s, es la raíz cuadrada positiva de la varianza:

Rango

Varianza

Desviación estándar

Ejercicios Considere la muestra 2, 4, 7, 8, 9. Encuentre: Rango Varianza Desviación estándar Dada la muestra 7, 6, 10, 7, 5, 9, 3, 7, 5, 13. Encuentre:

Ejercicios. A los reclutas de una academia de policía se les solicitó presentar un examen que mide la capacidad que tienen para hacer ejercicio. Esta capacidad (medida en minutos) se obtuvo para cada uno de los 20 reclutas: Encuentre el rango Encuentre la varianza Encuentre la desviación estándar Use la gráfica de barras que obtuvo en el anterior ejercicio y trace 1) una recta que represente al rango y 2) una recta que empiece en la media y cuya longitud represente el valor de la desviación estándar Describa cómo están relacionados la distribución de los datos, el rango y la desviación estándar.