Curso de Estadística Básica

Presentación del tema: "Curso de Estadística Básica"— Transcripción de la presentación:

1 Curso de Estadística Básica
SESION 4 MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA, MEDIDAS DE POSICIÓN MCC. Manuel Uribe Saldaña MCC. José Gonzalo Lugo Pérez

2 Objetivo Calcular la media y desviación estándar de diagramas de frecuencia. Conocer las medidas de posición y su interpretación.

3 Agenda Sesión 4 Revisión del examen de la sesión 1 y 2
Media y desviación estándar en diagramas de frecuencia Medidas de Posición Cuartil Percentil Puntaje estándar

4 Media y Desviación estándar de distribuciones de frecuencia
Calcular la media, varianza y desviación estándar para el siguiente conjunto de datos:

5 Media y Desviación estándar de distribuciones de frecuencia
Del ejemplo anterior se obtiene una distribución de frecuencias: Para calcular la media y la varianza de la muestra, es necesaria la suma de los 28 valores x y la suma de los 28 valores de x al cuadrado, así: x =

6 Media y Desviación estándar de distribuciones de frecuencia
Σx = … … … …+ 4 5 sumandos 9 sumandos 8 sumandos 6 sumandos Σx = (5)(1) + (9)(2) + (8)(3) + (6)(4) Σx = = 71 Σx2 = 12 +… … … …+ 42 5 sumandos 9 sumandos 8 sumandos 6 sumandos Σx2 = (5)(1) + (9)(4) + (8)(9) + (6)(16) Σx2 = = 209

7 Media y Desviación estándar de distribuciones de frecuencia
Se utilizará la distribución de frecuencias para determinar las sumatorias, obteniendo una tabla de extensiones: Suma de x, Σxf, usando las frecuencias. Suma de x2, Σx2f, usando las frecuencias. Número de datos

8 Media y Desviación estándar de distribuciones de frecuencia

9 Media y Desviación estándar de distribuciones de frecuencia

10 Media y Desviación estándar de distribuciones de frecuencia
Para encontrar la media de una distribución de frecuencias se tiene: suma de x, usando frecuencias x barra = número x = Σxf Σf En la fórmula para la media se utiliza n, x = Σxf Σf = 7

11 Media y Desviación estándar de distribuciones de frecuencia

12 Media y Desviación estandar de distribuciones de frecuencia
Para encontrar la varianza de la distribución de frecuencias se tiene: (suma de x2, usando frecuencias) – (suma de x, usando frecuencias)2 s cuadrada = número número - 1

13 Media y Desviación estándar de distribuciones de frecuencia

14 Media y Desviación estándar de distribuciones de frecuencia

15 Media y Desviación estándar de distribuciones de frecuencia
Para encontrar la Desviación estándar de la distribución de frecuencias se tiene:

16 Media y Desviación estándar de distribuciones de frecuencia

17 Media y Desviación estándar de distribuciones de frecuencia

18 Ejercicios 1. Encontrar la media, la varianza y la desviación estándar de la muestra de 50 puntajes de examen, usando la distribución de frecuencias agrupadas: Media: Varianza: Desviación Estándar: 14.9

19 Ejercicios 2. Una empresa productora de láminas metálicas utiliza varios reparadores de problemas para hacer composturas de emergencia en los hornos. Por lo común, este personal realiza varios viajes cortos. Para efectos de estimar los gastos por viajes del año próximo, la empresa tomó una muestra de 20 cupones de gastos de viaje relacionados con la reparación de dichos problemas. Se obtuvo la siguiente información: Calcule la media y la desviación estándar de estas cantidades de gastos por viaje en dólares. Media: Desviación Estándar: 9.95

20 Estadística descriptiva
Medidas de tendencia central Medidas de dispersión Medidas de posición Tipos de distribución

21 Cuartiles Son los valores de la variable que dividen en cuartos a los datos ordenados; cada conjunto de datos posee tres cuartiles. El primer cuartil, Q1,es el número tal que cuando mucho el 25% de los datos es menor en valor que Q1 y cuando mucho el 75% de los datos es mayor que Q1. El segundo cuartil es la media. El tercer cuartil, Q3 , es un número tal que cuando mucho el 75% de los datos es menor en valor que Q3 y cuando mucho el 25% de los datos es mayor que Q3 25% Mín Máx Q1 Q2 Q3 Datos clasificados en orden creciente

22 Percentiles Son los valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en 100 subconjuntos iguales; cada conjunto de datos tiene 99 percentiles. El k-ésimo percentil, Pk, es un valor tal que cuando mucho k% de los datos son más pequeños en valor que Pk y cuando mucho (100-k)% de los datos es mayor. 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% Mín P1 P2 P3 P5 P97 P98 P99 Máx Datos clasificados en orden creciente A lo más k A lo más (100 – k)% Mín Pk Máx

23 Percentiles Notas: El primer cuartil y el 25avo percentil son iguales; es decir, Q1 = P25. También, Q3 = P75. La mediana, el segundo cuartil, y el 50avo percentil son iguales. De esta forma, cuando se pida encontrar P50 o Q2, se puede aplicar el procedimiento para encontrar la mediana.

24 Procedimiento para determinar el valor de cualquier k-ésimo percentil o cuartil
Ordenar los datos, del más chico al más grande Paso 1 Calcular Paso 2 Se obtiene un entero A Pk está a la mitad entre el valor del dato en la A-ésima posición y el valor del siguiente dato. Se obtiene un número con una fracción Pk, es el valor del dato en la B-ésima posición Paso 3 Paso 4

25 Ejemplo Con la muestra de 50 puntajes del examen final del curso de estadística elemental que se observa en la tabla, determinar el primer cuartil, Q1, el 58avo percentil, P58, y el tercer cuartil, Q3.

26 Ejemplo Paso 1 Ordenar los datos

27 Ejemplo Paso 2 Paso 3 Paso 4 Encontrar
n = 50 y k = 25, ya que Q1 = P25 Paso 3 Encontrar la profundidad de Q1; d(Q1)=13 (Debido a que contiene una fracción, B está más próximo al siguiente entero más grande, 13) Paso 4 Encontrar Q1: Q1 es el 13avo valor contando a partir del Mínimo. Q1 = 67

28 P58 Paso 2 Paso 3 Paso 4 P58 = (77 + 78)/2 = 77.5 Encontrar
n = 50 y k = 58, debido a P58 Paso 3 Encontrar la profundidad de P58; d(P58) = 29.5 (Como A = 29 (un entero), se suma .5 y se usa 29.5) Paso 4 Encontrar P58: P58 es el valor que está a la mitad entre los valores de las porciones de datos 29ava y 30ava, contando a partir del Mínimo. P58 = ( )/2 = 77.5

29 Q3

30 Puntaje estándar (puntaje z)
Posición que tiene un valor particular de x con respecto a la media, medida en desviaciones estándar. El puntaje z se calcula con la fórmula:

31 Ejemplo Encontrar los puntajes estándar para a) 92 y b) 72 con respecto a una muestra de puntajes de un examen que tiene como media de 74.9 y una desviación estándar de 14.19 Lo anterior significa que el puntaje 92 está a 1.2 desviaciones estándar por arriba de la media, mientras que el puntaje 72 está a 0.2 desviaciones estándar por debajo de la media.

32 Notas Normalmente, el valor calculado de z se redondea al centésimo más próximo El intervalo de variación aproximado del valor de los puntajes z suele ir de a +3.00

33 Ejercicios Una muestra tiene una media de 50 y una desviación estándar de 4. Encuentre el puntaje z para cada valor de x. X=54 X=50 X=59 X=45

34 Ejercicios Un examen que se administró a nivel nacional tuvo una media de 500 y una desviación estándar de Si el puntaje z normal de un estudiante en este examen fue de 1.8, ¿cuál es su calificación en el examen?

35 Ejercicios ¿Qué valor x tiene el mayor valor con respecto al conjunto de datos del que proviene? X=85, donde la media = 72 y la desviación estándar = 8 X=93, donde la media = 87 y la desviación estándar = 5

36 Ejercicios Considere el siguiente conjunto de tiempos de ignición que fueron registrados para una tela sintética Encuentre: a) La mediana, b) El rango medio, c) El cuartil medio, c) Q2

37 Ejercicios ¿Qué valor x tiene la menor posición relativa con respecto al conjunto de datos del que proviene? X=28, donde la media = 25.7 y la desviación estándar = 1.8 X=39.2, donde la media = 34.1 y la desviación estándar = 4.3

38 Teorema de Chebyshev La proporción de cualquier distribución que esté a menos de k desviaciones estándar de la media es por lo menos Donde k es cualquier número positivo mayor que 1. Este teorema es válido para todas las distribuciones de datos.

39 Teorema de Chebyshev Este teorema establece que a menos de dos desviaciones estándar de la media (k = 2) siempre se encontrará por lo menos el 75% (o más) de los datos. Por lo menos el 75% s X-2s x X+2s