Los logaritmos y su propiedades

Introducción Definición: En términos sencillos y claros, un logaritmo es un exponente o potencia, a la que un número fijo (llamado base), se ha de elevar para dar un cierto número. Es decir, buscamos el exponente al que hay que elevar la base para que nos de el argumento. Entonces, el logaritmo es la función inversa de la función exponente.

loga c = b Argumento Base Valor buscado (exponente) Partes de un logaritmo. loga c = b Valor buscado (exponente) Argumento Base

loga c = b ab = c Introducción Matemáticamente hablando, sería: Es decir: ab = c

Introducción Ejemplos: - Log3 81 = 4 es decir: 34 = 81 - Log2 256 = 8 es decir: 28 = 256 - Log4 16 = 2 es decir: 42 = 16

Propiedades de los logaritmos Hay ciertas propiedades que debes conocer de los logaritmos. Veremos las más importantes a continuación.

Propiedad 1 El logaritmo de la base siempre es igual a uno, es decir: loga a = 1 Ejemplos: log5 5 = 1 log89 89 = 1 Log12.500 12.500 = 1

Propiedad 2 El logaritmo de 1 en cualquier base es siempre igual a cero: loga 1 = 0 Ejemplos: log3 1 = 0 log2a 1 = 0 log43 1 = 0

Propiedad 3 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores: loga (b·c) = loga b + loga c Ejemplos: log2 (3·5) = log2 3 + log2 5 log3 (6·2·5) = log3 6 + log3 2 + log3 5 log4 (16·4) = log4 16 + log4 4 = 2+1 =3

Propiedad 4 El logaritmo de una fracción es igual a la resta del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. loga (b/c) = loga b – loga c Ejemplo: log2 3 / 4 = log2 3 – log2 4 log4 (16/4) = log4 16 - log4 4 = 2-1 = 1

Propiedad 5 El logaritmo de una potencia es igual a la potencia multiplicando al logaritmo de la base de la potencia: loga bc = c loga b Ejemplo: log2 53 = 3 log2 5 log3 √5 = ½ log3 5

Propiedad 6 El logaritmo de la base elevado a una potencia es igual a la potencia. Loga ab = b Ejemplo: log3 32 = 2 log4 46 = 6 log2 23 = 3

Propiedad 7 Cambio de base de logaritmo: El logaritmo en base a un número es igual a la fracción entre el logaritmo del primer número con base en un tercer número y el logaritmo del segundo número con base en un tercer número. loga b = logc b / logc a Ejemplo: log2 8 = log3 8 / log3 2

Propiedad 8 Un número elevado al logaritmo con base en el mismo número, es igual al número del logaritmo. a loga b = b Ejemplo: 4 log4 3 = 3 20 log20 4 = 4 b logb 2 = 2 3 log3 5 = 5

Los logaritmos más usados son: El logaritmo en base 10 (se omite la base): log10 b = log b El logaritmo en base e, natural o neperiano: loge b = ln b Donde e es número de Euler, e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...=