9 Funciones LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Las funciones no tienen una forma única de expresión, y sin embargo, de todas ellas podemos extraer propiedades.

Enlace a la biografía de G. W. Leibniz Busca en la web El calculo Trabajando por separado y con métodos distintos, Newton antes y sin dar publicidad a sus resultados, y Leibniz unos años después, pero publicándolos antes, van a crear la herramienta más potente y universal de la historia de las Matemáticas y de todas las ciencias: el Cálculo. Enlace a la biografía de Leibniz

Esquema de contenidos Funciones Coordenadas cartesianas Concepto de función Representación gráfica Tablas Dominio y recorrido Funciones definidas a trozos Estudio de una función Continuidad Puntos de corte Crecimiento y decrecimiento Simetrías Periodicidad

Coordenadas cartesianas Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par ordenado de números, x e y, llamados coordenadas cartesianas del punto, y se escribe: P (x , y) SIGUIENTE

Concepto de función Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. SIGUIENTE

Concepto de función No es función Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Sí es función SIGUIENTE

Concepto de función No es función Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. La variable x es la variable independiente, y es un valor prefijado. Y la variable y es la variable dependiente, y su valor depende del valor de x. Sí es función SIGUIENTE

Función expresada mediante tabla de valores Representar gráficamente los siguientes datos que relacionan las horas transcurridas desde la apertura de una exposición con el número de personas que asisten. x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 100 150 50 250 200 Nº personas H SIGUIENTE

Dominio y recorrido Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. Dom f(x) El recorrido o la imagen de una función f(x) es todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente. Im f(x) SIGUIENTE

Dominio y recorrido Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. Dom f(x) El recorrido o la imagen de una función f(x) es todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente. Im f(x) SIGUIENTE

Funciones definidas a trozos En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de la función de forma global, pero sus valores responden a distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que estamos. Cuando definimos una función con expresiones parciales y se especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una función a trozos. SIGUIENTE

Funciones definidas a trozos En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de la función de forma global, pero sus valores responden a distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que estamos. Cuando definimos una función con expresiones parciales y se especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una función a trozos. La función definida es: ï î í ì +¥ < £ + - ¥ = x 4 5 2 ) ( f SIGUIENTE

Propiedades de funciones Continuidad Puntos de corte Crecimiento y decrecimiento Simetrías Periodicidad SIGUIENTE

Función continua Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo. Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de un solo trazo. Los puntos donde se corta el trazo de la función se llaman puntos de discontinuidad de la función. SIGUIENTE

Función continua Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo. Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de un solo trazo. discontinua discontinua continua Los puntos donde se corta el trazo de la función se llaman puntos de discontinuidad de la función. continua SIGUIENTE

Puntos de corte Los puntos de corte con los ejes coordenados de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes coordenados. EJE X, y = 0 Son de la forma (a, 0). Se hallan calculando los valores de la variable x, cuando la variable y toma el valor 0. EJE Y, x = 0 Son de la forma (0, b). Se hallan calculando los valores de la variable y cuando la variable x toma el valor 0. SIGUIENTE

Puntos de corte Los puntos de corte con los ejes coordenados de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes coordenados. EJE X, y = 0 Son de la forma (a, 0). Se hallan calculando los valores de la variable x, cuando la variable y toma el valor 0. EJE Y, x = 0 Son de la forma (0, b). Se hallan calculando los valores de la variable y cuando la variable x toma el valor 0. (0, 2) corte con eje Y (-3, 0) corte con eje X SIGUIENTE

Crecimiento y decrecimiento Una función es creciente en un tramo si, al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y. Una función es decreciente en un tramo si, al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y. SIGUIENTE

Crecimiento y decrecimiento Una función es creciente en un tramo si, al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y. Una función es decreciente en un tramo si, al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y. Decreciente en (-∞, -5) Creciente en (5, 4) Decreciente en (4, + ∞) SIGUIENTE

Máximos y mínimos En los puntos donde la gráfica pasa de ser creciente a decreciente se dice que la función alcanza un máximo. En los puntos donde la gráfica pasa de ser decreciente a creciente se dice que la función alcanza un mínimo. Mínimo en x = -5 Máximo en x = 4 SIGUIENTE

Simetrías Simetría respecto del eje de ordenadas (eje Y) o simetría par Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando Simetría respecto del origen o simetría impar Una función es simétrica respecto del origen cuando SIGUIENTE

Simetrías ) ( par x f Simetría - = ) ( impar x f Simetría - = SIGUIENTE

Periodicidad Una función es periódica si su gráfica, o las imágenes de los valores de x, se repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo, T, se le llama periodo. Conocido el valor de la función en un intervalo de amplitud T, se puede construir el resto de la gráfica trasladándola a la derecha e izquierda por todo el dominio. SIGUIENTE

( ) ( ) Estudio de una función Dominio: todos los números reales Dom f ( x ) = - ¥ todos los números reales , +¥ ® Recorrido: ( ) , Im x f ® +¥ ¥ - = todos los números reales Puntos de corte: P(0,0) x P(-5,0) -5 : X = Eje P(0,0) y : Y = Eje Continuidad: la función es continua. ) (0, ,-3) (- creciente (-3,0) ¥ + È e decrecient Crecimiento y decrecimiento: ,0) ( en mínimo (-3,3) áximo m Máximos y mínimos: No es simétrica. No es periódica.

Diccionario matemático Enlaces de interés DivulgaMat Diccionario matemático IR A ESTA WEB IR A ESTA WEB

Actividad: La función lineal y la función afín Dirección: http://www.santillana.cl/mat2/unidad3b.htm En la sección chilena de la Editorial Santillana, se propone una actividad en la que se podrá realizar la gráfica de la función f (x)= ax + b y g (x)= mx + n para distintos valores de la variable x y los parámetros m, n, a y b. Para conocerlo, sigue este enlace.