FUNCIÓN SENO (1º BACHILLERATO CIENCIAS DE LA NATURALEZA Y DE LA SALUD/TECNOLOGÍA) Definición. Dominio y Conjunto Imagen. Periodicidad. Acotación. Continuidad. Intervalos crecimiento/decrecimiento. Máximos y mínimos. Gráfica. Ejercicios.

DEFINICIÓN DOMINIO CONJUNTO IMAGEN f(x) = sen x Dom f = R La FUNCIÓN SENO es la aplicación que hace corresponder a cada número real x, el seno del ángulo que mide x radianes f(x) = sen x O P(ax,bx) x DOMINIO r Teniendo en cuenta que sen x = y que r  0 , se verifica que sen xR xR. Por tanto Dom f = R CONJUNTO IMAGEN La ordenada del punto P , bx, debe verificar -r  bx  r Multiplicando por todos los miembros de la desigualdad obtenemos Por tanto Imf = [-1, 1] INICIO

PERIODICIDAD la función seno es periódica de periodo 2 INICIO Los ángulos “x” y “x + 2” tienen sus lados sobre las mismas semirrectas. Q(ax+2,bx+2) P(ax,bx) x O r x+2 Se verifica bx = bx+2 Entonces sen x = = = sen(x+2) xR Por tanto la función seno es periódica de periodo 2 Este resultado nos permite hacer el estudio de la función en el intervalo [0, 2] y generalizar las conclusiones obtenidas a todos los intervalos de amplitud 2 INICIO

la función seno está acotada inferior y superiormente ACOTACIÓN Hemos visto anteriormente que -1  sen x  1 Por tanto la función seno está acotada inferior y superiormente O r xo P(axo, bxo) Q(ax,bx) x CONTINUIDAD sen xo R ,  xo  R Por tanto la función seno es continua en R INICIO

INTERVALOS DE CRECIMIENTO/DECRECIMIENTO En el primer cuadrante: O r x < y  bx < by   sen x < sen y y Q(ay, by) P(ax,bx) x La función es creciente en el intervalo [0,/2] O r x P(ax,bx) En el segundo cuadrante: y Q(ay,by) x < y  bx > by   sen x > sen y La función es decreciente en el intervalo [/2, ]

La función es decreciente en el intervalo [,3/2] En el tercer cuadrante: O r x < y  bx > by   sen x > sen y x P(ax,bx) La función es decreciente en el intervalo [,3/2] y Q(ay,by) O r y Q(ay,by) x P(ax,bx) En el cuarto cuadrante: x < y  bx < by    sen x < sen y La función es creciente en el intervalo [3/2, 2] INICIO

MÁXIMOS Y MÍNIMOS Por ser la función seno creciente en [ 0, ], decreciente en [ , ] y continua en , la función seno alcanza un máximo en el punto x = en el que toma el valor 1 Por ser la función seno decreciente en [ , ], creciente en [ , 2 ] y continua en , la función seno alcanza un mínimo en el punto x = en el que toma el valor -1 Por tanto, la función seno presenta un máximo en el punto (/2,1) y un mínimo en el punto (3/2,-1) INICIO

GRÁFICA Teniendo en cuenta el estudio realizado en el intervalo [0, 2], y calculando algún valor auxiliar: x sen x 0 0 1  0 -1 2 0 2 1 -1 

Habíamos visto que la función seno es periódica, de periodo 2, por tanto, no tenemos más que repetir la gráfica anterior en intervalos de amplitud 2 -2 -  2 3 4 1 -1 INICIO

EJERCICIOS A partir de la gráfica de la función SENO representar gráficamente las funciones: 1) g(x) = sen x + 1 Si quieres ver la solución pincha aquí: SOLUCIÓN 2) h(x) = sen (x+1) Si quieres ver la solución pincha aquí: SOLUCIÓN 3) p(x) = sen x  Si quieres ver la solución pincha aquí: SOLUCIÓN 4) q(x) = sen x  Si quieres ver la solución pincha aquí: SOLUCIÓN INICIO

EJERCICIO 1 Teniendo en cuenta que para cada valor de “x” la función “g” toma como valor una unidad más que la función SENO, la gráfica quedará “desplazada hacia arriba” una unidad  3 2 - -2 2 1 -1

EJERCICIO 2 Teniendo en cuenta que para cada valor de “x-1” la función “h” toma el mismo valor que la función SENO en “x”, la gráfica quedará “desplazada hacia la izquierda” una unidad 1 -1  -1 2 -1

EJERCICIO 3 Teniendo en cuenta que p(x) =|sen x|= para los valores de “x” en los que la función SENO toma valores positivos, su gráfica coincide con la de “p”; Para los valores de “x” en que la función SENO toma valores negativos, la gráfica de “p” es simétrica de ella respecto del eje OX sen x si sen x  0 -sen x si sen x < 0 | 1   2 3 4 - -2

EJERCICIO 4  sen x si x  0 sen(-x) = - sen x si x < 0 Teniendo en cuenta que q(x) = sen|x|= para valores positivos de “x” la función SENO toma los mismos valores que la función “q”, por tanto sus gráficas coinciden en estos puntos; para valores negativos de “x” las dos funciones toman valores opuestos. sen x si x  0 sen(-x) = - sen x si x < 0 | 2 3 4 - -2 1 -1 