Karla Riera Segundo ciencias Logaritmos: Karla Riera Segundo ciencias

Historia El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por vez primera los logaritmos, sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiada por Kepler, por el entusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban. Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la resolución de cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesia, navegación y otras ramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y computadoras. Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.

Concepto Podemos introducir la función logarítmica como una función analítica que es de hecho la función primitiva de otra función analítica bien conocida. Para definir de esa manera el logaritmo empezamos con algunas observaciones: La derivada de la función es . Al dividir ambos lados de la expresión por "n" y observar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de es (con ). Este cálculo obviamente no es válido cuando m = − 1, porque no se puede dividir por cero. Por lo tanto, la función inversa es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia". Sin embargo, la función es continua sobre el rango lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre . A la función analítica cuya existencia se deduce de las observaciones anteriores la llamaremos función logaritmo, y la definiremos convencionalmente como:

Propiedades La función definida anteriormente es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva Tiene límites infinitos en y en . La tangente Te que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen. La tangente T1 que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: y = x − 1. La derivada de segundo orden es , siempre negativa., por lo tanto la función es cóncava, es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con T1 y Te.

El logaritmo de 1 es = 0 El logaritmo de un producto es igual a la suma de cada uno de sus factores El logaritmo de un cociente es igual a la resta de un logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. Logaritmo de una raíz hay que transformar la raíz a potencia.

Uso de logaritmos La función logb(x) = a está definida donde quiera que x es un número real positivo y b es un número real positivo diferente a 1. Véase identidades logarítmicas para diversas reglas relacionadas a las funciones logarítmicas. También es posible definir logaritmos para argumentos complejos. Para enteros b y x, el número logb(x) es irracional (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si b o x tiene un factor primo que el otro no tiene.

Identidades logarítmicas Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

Logaritmo en base b (cambio de base) Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1): en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos: En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como , en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces. Las propiedades de los logaritmos son una base que facilita aún más su resolución.

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