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Funciones Polinómicas de 2º grado 4º ESO Tema 10 Funciones Polinómicas de 2º grado

1. Concepto a) Repaso ¿Qué es una función? Es una relación entre 2 variables, X e Y, de manera que a cada valor de X le corresponde un único valor de Y

X es la variable independiente. 1. Concepto a) Repaso ¿Qué es una función? X es la variable independiente. Y es la variable dependiente, porque su valor depende del valor que demos a la variable X.

¿Qué es una Función Polinómica? 1. Concepto a) Repaso ¿Qué es una Función Polinómica? Una función polinómica es una función cuya expresión algebraica es un polinomio.

1. Concepto b) Definición Las F. Polinómicas de 2º Grado son funciones cuya expresión algebraica es un polinomio de 2º grado: y= ax 2+bx+c

1. Concepto b) Definición Su gráfica es una curva con dos ramas, una creciente y otra decreciente, que se llama: PARÁBOLA

2. Propiedades Dominio y Recorrido Continuidad Crecimto y Decrecimto Vértices (Máx o Mín) e) Simetría f) Puntos de corte con los ejes g) Representación Gráfica

2. Propiedades a) Dominio; Recorrido Dominio Df(x): Valores que puede tomar x para que la función exista. Recorrido Imf(x): Valores que toma y (en función del dominio).

2. Propiedades a) Dominio; Recorrido * Dominio F. Polinómicas 2º Grado Son todos los números Reales * Recorrido F. Polinómicas 2º Grado Son todos los números Reales

2. Propiedades b) Continuidad Una función es continua si puede dibujarse de un solo trazo. * Las funciones polinómicas de 2º grado son funciones continuas Df(x)=R

c) Crecimiento y decrecimiento 2. Propiedades c) Crecimiento y decrecimiento Como es una parábola, hay dos casos: primero crece y luego decrece. primero decrece y luego crece.

c) Crecimiento y decrecimiento 2. Propiedades c) Crecimiento y decrecimiento Para estudiar si la F. polinómica de 2º grado crece o decrece primero, debemos analizar el signo de “a” . y= ax 2+bx+c

c) Crecimiento y decrecimiento 2. Propiedades c) Crecimiento y decrecimiento y= ax 2+bx+c Si “a” > 0, la parábola primero decrece y luego crece El vértice es un mínimo

c) Crecimiento y decrecimiento 2. Propiedades c) Crecimiento y decrecimiento y= ax 2+bx+c Si “a” < 0, la parábola primero crece y luego decrece El vértice es un máximo

d) Vértice (Máximo o Mínimo) 2. Propiedades d) Vértice (Máximo o Mínimo) En las F. polinómicas de 2º grado, el vértice (x;y) tiene como coordenadas: x = (-b/2a) y = f(-b/2a) y= a x 2+ b x+ c

d) Vértice (Máximo o Mínimo) 2. Propiedades d) Vértice (Máximo o Mínimo) y= ax 2+bx+c Si “a” > 0, Vértice es un mínimo (-b/2ª ; f(-b2+4ac))=Min.

d) Vértice (Máximo o Mínimo) 2. Propiedades d) Vértice (Máximo o Mínimo) y= ax 2+bx+c Si “a” < 0, Vértice es un máximo (-b/2ª ; f(-b2+4ac))=Max.

2. Propiedades e) Eje de Simetría Es una recta paralela al eje de ordenadas (eje de las “y”) cuya función es: x = -b/2a y= a x 2+ b x+ c

e) Puntos de corte con los ejes 2. Propiedades e) Puntos de corte con los ejes El punto (x;y) de corte con el eje de abcisas tiene como coordenadas: x : la solución de f(x)= 0 y = 0

e) Puntos de corte con los ejes 2. Propiedades e) Puntos de corte con los ejes El punto (x;y) de corte con el eje de ordenadas tiene como coordenadas: x = 0 y es el valor de f(0)

f) Representación Gráfica 2. Propiedades f) Representación Gráfica - Eje de simetría. Vértice (Máximo o Mínimo). Puntos de corte con ejes. Puntos (calculados).

3. Ejemplo Analiza y representa la función y = f(x) = x2-4x+2

3. Ejemplo y = f(x) = x2-4x+2 a = 1 Crecimiento y decrecimiento b = -4 La parábola primero decrece, y luego crece. El vértice es un mínimo.

3. Ejemplo y = f(x) = x2-4x+2 a = 1 b = -4 c = 2 Coordenadas del mínimo: (x;y) = (2;-2) Coordenadas (x;y) del mínimo: x = -b/2a ; x = -(-4)/(2.1) x = 4 / 2 x = 2 Coordenadas (x;y) del mínimo: x = 2 y = f(2)=22-4.2+2 = -2

3. Ejemplo y = f(x) = x2-4x+2 a = 1 b = -4 c = 2 Simetría (recta): x = 2 Eje de Simetría (recta): x = -b/2a ; x = -(-4)/(2.1) x = 4 / 2 x = 2

3. Ejemplo y = f(x) = x2-4x+2 Punto de corte con el eje de abcisas y = 0; x: solución de ecuación f(x)=0 y = f(x) = x2-4x+2 = 0 a = 1 b = -4 c = 2 x1 = 3,41 x2 = 0,5857

3. Ejemplo y = f(x) = x2-4x+2 Punto de corte con el eje de abcisas s (x1 ;y)=(3,41 ;0) (x2 ;y)= (0,5857 ;0)

3. Ejemplo y = f(x) = x2-4x+2 Punto de corte con el eje de ordenadas x = 0; y: valor de f(0) y = f(0) = 02-4.0+2 = 2 (x;y) = (0;2)

3. Ejemplo y = f(x) = x2-4x+2 Representación Gráfica y x 3 2 1 -1 1 2 -1 1 2 3 4 -1 -2

3. Ejemplo y = f(x) = x2-4x+2 Representación Gráfica y x Puntos de Corte Eje de ordenadas (x;y)= (0;2) Puntos de Corte Eje de abcisas (x1 ;y)= (3,41;0) (x2 ;y)= (0,5857;0) Mínimo (x;y)= (2;-2) Eje de Simetría x=2 (recta) 3 2 1 x -1 1 2 3 4 -1 -2

3. Ejemplo y = f(x) = x2-4x+2 Representación Gráfica y x Valores 3 x y=2 punto de corte 2 y=2 (simetría) x y 1 y=(1)2-4.(1)+2=-1 3 y=-1 (simetría) 2 1 x -1 1 2 3 4 -1 -2

3. Ejemplo y = f(x) = x2-4x+2 Representación Gráfica y x 3 2 1 -1 1 2 -1 1 2 3 4 -1 -2

Como en el caso general, excepto que ahora b=0 ; c=0 3. Casos Particulares * Caso general y= ax 2+bx+c * 1er caso particular y= ax 2 Como en el caso general, excepto que ahora b=0 ; c=0 y= ax 2+0.x+0.c = ax 2

Ejemplo 2 Analiza y representa las funciones y = f(x) = -2x2

Como en el caso general, excepto que ahora b=0 3. Casos Particulares * Caso general y= ax 2+bx+c * 2º caso particular y= ax 2 +c Como en el caso general, excepto que ahora b=0 y= ax 2+0.x+ c = ax 2+c

Ejemplo 3 Analiza y representa las funciones y = f(x) = 3x2 -4