EXTREMOS DE LAS FUNCIONES y = x² - 2x + 5 y`= 2x -2 y`= 0 2x -2 = 0 x = 1
Del anterior ejercicio concluimos: Si la primera derivada es < 0 para distintos valores de x, significa que la función es decreciente para esos valores. A medida que los valores de x aumentan el valor de la función disminuye. Si la primera derivada es > 0 para determinados valores de x, significa que la función es creciente para dichos valores. A medida que los valores de x aumentan simultáneamente aumenta el valor de la función.
F ( x ) = x² - 2x + 5 x y
Métodos para obtener máximos y mínimos relativos. 1. Se calcula ƒ`(x) esta se iguala a 0 y se obtienen los puntos críticos. Y se reemplazan valores anteriores y posteriores a los puntos críticos en la primera derivada para obtener los máximos o mínimos relativos. ƒ`( x 0 - ) < 0 } existen mínimos relativos en x 0 ƒ`( x 0 + ) > 0 ƒ`( x 0 - ) > 0 } existen máximos relativos en x 0 ƒ`( x 0 + ) < 0
y = 3x³ + 2x² - 7x + 4 y` = 9x 2 + 4x - 7 y` = 0 9x 2 + 4x - 7 = 0 _______ x = -4 ± x 1 = 0,68 y x 2 = -1,13
( x - 0,68 )( x + 1,13 ) - - 1,13 0,68 X – 0, X + 1,
Función creciente cuando x pertenece a ] - , -1,13[ U ] 0,68, + [ Función decreciente cuando x pertenece a ] –1,13, 0,68 [ En el ejemplo anterior: - y (01) f ‘( x 01 – 0,1) < 0} mín. relativo en el punto f ‘ (x ,1) > 0 ) ( 0,68; 1,10) -y(02) f ‘ (x 02 – 0,1) > 0 } máx. relativo en el punto f ‘ ( x ,1) < 0 ) ( -1,13; 10,13)
2. Segundo método. a.Se calcula la primera derivada se iguala a 0 y se obtienen los puntos críticos. b.Se calcula la segunda derivada, si la segunda derivada evaluada en el punto crítico es > 0 significa que existe un mínimo relativo en dicho punto, si la segunda derivada evaluada en el punto crítico es < 0 significa que existe un máximo relativo en dicho punto.
Ejemplo: y = 3x³ + 2x² - 7x + 4 a.y’ = 9x² + 4x – 7 y’ = 0 x 01 = 0,68Puntos críticos x 02 = -1,13 b.y” = 18x + 4 y” (x 01 = 0,68) = 18 *0, > 0 mín. relativo en el punto ( 0,68; 1,10) y”(x 02 = -1,13) = 18 *-1, < 0 máx. relativo en el punto ( -1,13; 10,13)