Relación de posición entre circunferencia y recta Clase 174 Relación de posición entre circunferencia y recta y x

Relación de posición entre circunferencia y recta. d(O;p) > r ; exterior s q d(O;s) < r ; secante p k O h x d(O;q) = r ; tangente

Relación de posición entre circunferencia y recta. Exterior Tangente Secante O p O q O s d(O;p) > r d(O;q) = r d(O;s) < r El sistema no tiene solución. El sistema tiene una solución. El sistema tiene dos soluciones D < 0 D = 0 D > 0

Ejercicio 1 Determina la relación de posición entre la circunferencia y la recta dada: a) x2 + (y – 2)2 = 18 ; x + y – 8 = 0 b) (x – 4)2+ y2 = 4 ; x – y + 2 = 0 c) (x + 1)2+ (y – 1)2 = 4 ; x – y + 4 = 0

 A2 + B2  1 + 1  2  2  2 a) x2 + (y – 2)2 = 18 ; x + y – 8 = 0 La recta es tangente a la circunferencia O(0;2) r = 3 2 d(O;p) = |AxO + ByO+ C|  A2 + B2 = |1·0 + 1·2 – 8|  1 + 1 = |2 – 8|  2 = |– 6|  2 = 6  2 = 3 2 = r

 A2 + B2  1 + 1  2  2  2 b) (x – 4)2+ y2 = 4 ; x – y + 2 = 0 La recta es exterior a la circunferencia O(4;0) r = 2 d(O;p) = |AxO + ByO+ C|  A2 + B2 = |1·4 – 1·0 + 2|  1 + 1 = |4 + 2|  2 = | 6|  2 = 6  2 = 3 2 > r

c) (x + 1)2+ (y – 1)2 = 4 ; x – y + 4 = 0 La recta es secante a la circunferencia O(–1;1) r = 2 d(O;p) = |AxO + ByO+ C|  A2 + B2 = |1(–1)+(–1)1+ 4|  1 + 1 = |–2+4|  2 = | 2|  2 = 2  2 < r =  2

Ejercicio 2 En el ejercicio 1, halla los puntos de intersección entre la circunferencia y la recta, en los casos que existen.

(1) x2 + (y – 2)2 = 18 ; x + y – 8 = 0 a) (2) despejando x en (2) x = 8 – y (3) sustituyendo en (1) (8 – y)2 + (y – 2)2 = 18 64 – 16y + y2 + y2 – 4y + 4 = 18 2 y2 – 20y + 50 = 0 : 2 y2 – 10y + 25 = 0

El punto de intersección es P(3; 5) y2 – 10y + 25 = 0 (y – 5)2 = 0 y = 5 sustituyendo y = 5 en (3) x = 8 – y x = 8 – 5 x = 3 El punto de intersección es P(3; 5)

c) (x + 1)2+ (y – 1)2 = 4 ; x – y + 4 = 0 (1) (2) despejando x en (2) x = y – 4 (3) sustituyendo en (1) (y – 4 + 1)2+ (y – 1)2 = 4 (y – 3)2+ (y – 1)2 = 4 y2 –6y + 9 + y2 – 2y + 1 = 4 2 y2 – 8y + 6 = 0 : 2

Los puntos de intersección son P1 (– 1; 3) , P2(– 3; 1) y2 – 4y + 3 = 0 (y – 3)(y – 1) = 0 y1 = 3 ó y2 = 1 sustituyendo y1 = 3 en (3) x = y – 4 x1 = 3 – 4 = – 1 sustituyendo y2= 1 en (3) x2 = 1 – 4 = – 3 Los puntos de intersección son P1 (– 1; 3) , P2(– 3; 1)

1. Dada la circunferencia x2+ (y – 6)2 = 25, determina los puntos de intersección con: Estudio individual a) r1: 3x – 4y – 1 = 0 a)P(3;2) b) r2: x – y + 1 = 0 b)P1(5;6),P2(0;1) 2. ¿Para qué valores reales mayores que – 4, f(x) es no negativa si: f(x) = x4 –9x2 x6 + 1 Resp: – 4< x  –3 ó x  3