TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS

TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS CIRCUNFERENCIAS OVALOS ELIPSE HIPERBOLA PARABOLA

CIRCUNFERENCIAS TANGENCIAS Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno llamado centro TANGENCIAS La tangente a una circunferencia en un punto, es la perpendicular a la recta que une dicho punto con el centro de la circunferencia ( el radio) T Si dos circunferencias son tangentes el punto de tangencia estará sobre la línea que une los centros T

ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES TANGENCIAS ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES O2 R r R+r O1 ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES R r O1 R-r O2

TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMA CIRCUNFERENCIAS TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMA A B T

CIRCUNFERENCIAS TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DEL MISMO NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO C T B A

TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLA CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLA t1 T1 O P O1 T2 t2

TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS R-r r t2 T21 T11

TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS R+r T12 O1 r T22 t2 T11 B

CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA DADA, QUE PASAN POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA RECTA Y TIENEN UN RADIO R CONOCIDO P R R O1 O2 R r T1 T2 A

CURVAS CONICAS β = 90º α < β α = β α > β Curvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano y que depende del ángulo que forman el plano y el eje de revolución de la superficie cónica β = 90º α < β α = β α > β

CURVAS CONICAS ELIPSE - Curva cerrada y plana simétrica respecto a dos ejes, eje mayor o real (2a), y menor o virtual (2b). A C B D F F' a c b r' N M r - Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la suma de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual a la longitud del eje mayor. - Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la elipse con los focos.(r y r’ ) se cumple que r + r’ = 2a

CURVAS CONICAS ELIPSE - Circunferencia principal es la que tiene por centro el centro de la elipse y por diámetro el eje mayor. - Circunferencias focales tienen por centros los focos de la elipse y por radio el eje mayor. - Distancia focal es la que hay entre los focos (2c) - Se cumple que a2= b2+ c2 - Excentricidad e = c2/a se cumple que para la elipse e <1

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS EJES CONSTRUCCION DE ELIPSE POR PUNTOS A PARTIR DE LOS EJES C C 1 M a 2 3 GA GB F G F’ 4 A B 4 3 2 1 A B O N D D

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR AFINIDAD H G A B O D

TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO DE LA MISMA TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR G t 2a P P PF I F F’ F F’ H J

CURVAS CONICAS HIPERBOLA - Curva plana, abierta, con dos ramas y simétrica respecto a dos ejes, F F’ V1 V2 A B r r’ O 2a 2c - Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la diferencia de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual al valor del eje mayor V1V2 ( 2a ) - Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la curva con los focos.(r y r’ ) se cumple que r - r’ = 2a

CURVAS CONICAS HIPERBOLA - Circunferencia principal es la que tiene por centro el de la hipérbola y por diámetro 2a. - Circunferencias focales tienen por centros los focos de la hipérbola y por radio 2a. - Distancia focal es la que hay entre los focos (2c), los focos están sobre el eje principal o real - Se cumple que c2= b2+ a2 - Excentricidad e = c2/a se cumple que para la elipse e >1

CURVAS CONICAS HIPERBOLA - Las asíntotas de la hipérbola son las rectas tangentes a la curva en los puntos del infinito. - Las asíntotas son simétricas respecto a los ejes y pasan por el centro O - Se llama hipérbola equilátera a la hipérbola cuyas asíntotas forman 45º con los ejes.

CONSTRUCCION DE UNA HIPERBOLA CONOCIDOS LOS VERTICES Y LOS FOCOS r =V1A r =V1A r =V1B r =V1B r’=V2A r’=V2A r =V2B r =V2B F V1 V2 B A O F’

TANGENTE A UNA HIPERBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA ELIPSE TANGENTE A UNA HIPERBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA TANGENTES A UNA HIPERBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR I V1 V2 V1 V1 P P PF’ I F F’ F V1 V2 F’ V1 O V2 O t J L K

CURVAS CONICAS PARABOLA V F d r - Curva plana, abierta, con una rama y simétrica respecto a un eje. - Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. - Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la parábola con el foco y la directriz

CONSTRUCCION DE UNA PARABOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZ HIPERBOLA CONSTRUCCION DE UNA PARABOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZ d AO O V A F