Mediciones con el gnomon Cálculo del radio de la Tierra Actividad seleccionada como Proyecto Emblemático de la red española AIA09 Participan: IES Trassierra. 1º BTO-CT Profesores: E. Gijón – F. Luque

Determinar del radio de la Tierra Presentación Un gnomon (un objeto vertical que proyecta la sombra sobre un plano horizontal) es un instrumento astronómico antiguo, con el que se pueden realizar diferentes actividades y mediciones astronómicas. El gnomon permite la realización de muchas actividades, tanto de observación como de medida y cálculo. Se propone además, con motivo del Año Internacional de la Astronomía 2009, una repetición (y pequeña modificación) de la medida de Eratóstenes, abierta a todos los centros escolares que deseen participar en la experiencia: Determinar del radio de la Tierra a partir de las medidas realizadas un mismo día en todos los centros participantes. Nosotros realizaremos también otras medidas trigonométricas.

Razones de la propuesta Dentro de su sencillez, ES CIENCIA. No se limita a la pura observación. Exige la toma de medidas, su tabulación, la realización de cálculos, el cotejo de resultados y la presentación de conclusiones. Medir siempre lo que sea medible, y hacer medible lo que no lo es (*) Instrumental sumamente simple (*) Cita no original. Comentario Bertold Brecht

Distintas longitudes de la sombra La forma esférica de la Tierra es la causa de las distintas longitudes de la sombra Algunos griegos fueron capaces de adivinar la forma esférica, observando las diferencias de la longitud de la sombra La bola blanca (Porexpan®) permite ver la sombra más nítida Eratóstenes (s. II a.C) fue capaz de tomar medidas y hacer la primera estimación del radio de la Tierra Detalle de las distintas longitudes de la sombra

Problema de Eratóstenes (de Cyrene) Eratóstenes había oído relatos de viajeros que decían que a mediodía del 21 de junio el sol no arrojaba sombra en un manantial de Syene. Él sabía que en Alejandría (donde residía) el sol siempre arrojaba sombra. Se le ocurrió entonces que si podía medir la longitud de la sombra del sol en Alejandría a la hora en que no había sombra en Syene, podría calcular la circunferencia de la Tierra. El 21 de junio Eratóstenes midió la sombra de un obelisco de Alejandría y mediante simple geometría calculo que la sombra proyectada correspondía a una desviación de los rayos solares respecto a la vertical de 7º 14'. Esto corresponde a 1/50 de la circunferencia total de la Tierra (360º). La circunferencia de la Tierra era por tanto igual a 50 veces la distancia que mediaba entre Syene y Alejandría.

Principios matemáticos La diferencia de alturas del Sol permite medir el valor angular del arco entre dos observatorios De la equivalencia entre este valor y la distancia en kilómetros entre los observatorios se calcula el radio de la Tierra

Cálculo del radio en otras latitudes Gnomon verticales (perp. al suelo). Diferente longitud de sombra. Luz solar. Haces paralelos Sombras β α L R β - α Long arco= radio x ángulo (radianes) β α L= R · (β-α); R=L/(β-α) Pozo en Syene (Assuan)

R=L/(β-α) ¿Qué mediremos? Necesitamos: Ángulo de la sombra en dos puntos distintos de España (α y β) Distancia sobre la Tierra entre los puntos en que medimos (L) R=L/(β-α)

Diferentes latitudes en España Diferente declinación solar 43º 42º D1 41º Lat. N 40º D2 39º 38º 37º

¿Cómo lo haremos? Para calcular L, debemos tomar distancia sobre mapas. Todos daremos la distancia al paralelo 40º (Di) Entre dos puntos (Córdoba y S. Sebastián, p.ej. L= D1+D2)

Todo lo que hace falta es... ¿Cómo medimos el ángulo? Todo lo que hace falta es...

...plantar un gnomon... Barcelona.- Septiembre 07 Castelló de la Plana.- Marzo 08 El gnomon ha de estar estable, en posición vertical La sombra se ha de proyectar en una superficie completamente horizontal Conviene disponer un papel grande (tipo embalaje) para registrar las posiciones de la sombra Alcalà de Guadaira.- Mayo 08

... e ir registrando las posiciones del extremo de la sombra del gnomon, en un intervalo de 3-4 horas centrado en el mediodía local

¿En qué momento debemos medir el ángulo? - En el mismo instante solar. - Mediodía solar de cada punto. (Sombra mínima)

Diferentes longitudes España 9ºW 6º 5º 3º 0º 3ºE Lat. N 40º Diferente mediodía

Longitud mínima de la sombra A partir del registro de las posiciones de la sombra se ha de determinar: el instante en que la sombra del gnomon es mínima la longitud de la sombra, en este instante, que es el de paso del Sol por el meridiano del lugar Y a partir de esta longitud mínima de la sombra se determina la altura del Sol sobre el horizonte, en el momento del paso por el meridiano

Determinación de la dirección Norte-Sur Una vez hechas las medidas, la mediatriz del segmento P1P2, puntos de intersección de la trayectoria de la sombra (línea roja) con cada uno de los círculos concéntricos de centro en el pie del gnomon, determina la dirección Norte-Sur del lugar de observación

¿Cómo se hará el cálculo? El cálculo de Eratóstenes se basa en la determinación de: - Altura del Sol - Distancia lineal entre los dos lugares de observación, situados sobre el mismo meridiano Como los centros escolares participantes no cumplen esta última condición, se sustituirá por la distancia, en dirección Norte-Sur, al paralelo 40ºN, que es el que pasa por el centro de la Península Estas distancias se medirán sobre un mapa o atlas, con una regla milimetrada. A partir de la escala del mapa se determinará la distancia en kilómetros

Currículum escolar: Ciencias Naturales El instante de sombra de longitud mínima, ¿es el mismo en todos los lugares? Para un determinado lugar, ¿sucede siempre a la misma hora? Para un determinado lugar, ¿la sombra mínima marca siempre la misma dirección? ¿Qué es un día? ¿Qué es un año?

Currículum escolar: Matemáticas Trigonometría: determinación de la altura del Sol

Currículum escolar: Matemáticas Semejanza de triángulos Posible determinación de alturas (edificios, farolas, monumentos) y posterior comprobación del resultado. Podemos calcular la altura de cualquier elemento a partir de la proporción. He Hgn Sgn Se

Aspectos críticos para el éxito Absoluta horizontalidad del suelo sobre el que se proyecta la sombra Tamaño y forma (grosor) del gnomon que diferencie bien las zonas de sombra y penumbra Anotación correcta de las horas: uso de un único reloj, con la hora ajustada poco antes del inicio de la experiencia Fechas de realización de la experiencia: En el dossier se justificará que los resultados más precisos se pueden obtener realizando las medidas en fechas próximas a los equinoccios PRÓXIMOS AL 21 DE MARZO –COMIENZO DE LA PRIMAVERA La medida del radio de la Tierra exige que la medidas se realicen en todos los centros en un mismo día La fecha decidida para la experiencia por la web AIA09 es el: 26 DE MARZO DE 2009, JUEVES.

Comunicación de resultados Los centros participantes deberán comunicar: Nombre del centro escolar Población y provincia Altura del Sol, en el momento del tránsito por el meridiano Distancia en Km al meridiano 40ºN (N/S) Persona y dirección e-mail de contacto Con los datos recibidos se realizará un cálculo conjunto del valor del radio de la Tierra ¡¡Hay más de 500 centros inscritos!!  Nosotros compartiremos (y calcularemos) con otro centro voluntario nuestro RADIO TERRESTRE. Los datos altura del Sol y distancia al meridiano 40ºN se publicarán en las páginas Web de la red AIA09

MOVIMIENTO DEL SOL EN EL FIRMAMENTO. SOMBRAS DEL GNOMON. DECLINACIÓN. Zenit   Vertical Norte Declinación  Gnomon Trayectoria solar Este   W Ocaso Amanecer (Orto) Sur

Sombras y penumbras Invierno: sol bajo, sombra y penumbra largas. Mucho error sombra penumbra

Sombras y penumbras Primavera: sol medio, sombra y penumbra medias. Menor error sombra penumbra

Sombras y penumbras Verano: sol alto, sombra y penumbra muy cortas. Mayor error proporcional sombra penumbra