TRIGONOMETRÍA Animación: Juan A. Morales. Material: Editorial SM

Ángulos Un ángulo es la parte del plano limitada por dos semirrectas que tienen un mismo origen. El origen común es el vértice del ángulo, y las semirrectas, sus lados Lado O Vértice Lado O Vértice

Ampliación del concepto de ángulo Sentido positivo Ángulo reducido de un ángulo es el ángulo menor que 360º definido por su misma posición a = 405º El ángulo reducido de 405º es el de 45º Sentido negativo b= -105º Origen de medida de ángulos

Medidas de ángulos a R R 90º 0º 180º 360º 270º Se dice que a mide un radián si el arco de circunferencia correspondiente tiene una longitud igual al radio de la misma 1 recto = 90º 1º = 60' 1' = 60''

Equivalencias entre grados sexagesimales y radianes Tomando como unidad de medida el radio, un arco completo de circunferencia tiene una longitud de 2p radios. Por tanto: 90º = p/2 rad 180º = p rad 0º 360º =2p rad 1 radián = 180º/ p = 57º 17' 44,81'' N grados = Np / 180 radianes n radianes = 180n / p grados 270º = 3p/2 rad

Razones trigonométricas de ángulos agudos Hipotenusa Cateto opuesto a Los triángulos ABC y AB'C' son semejantes. En virtud de esta semejanza se tiene: A B' B Cateto contiguo BC AC B'C' AC' AB AC AB' AC' BC AB B'C' AB' = = sen a = = cos a = = tg a

Razones trigonométricas de 45º B C D 45º

Razones trigonométricas de los ángulos 30º y 60º B C D 30º 60º

Resolución de triángulos rectángulos A 90º b c C B a Resolver un triángulo es calcular todos los elementos del mismo (lados y ángulos) a partir de algunos de ellos. Para un triángulo rectángulo es suficiente conocer dos de sus elementos, uno de los cuales como mínimo ha de ser un lado. Las siguientes condiciones junto a las definiciones de las razones trigonométricas permiten resolver cualquier triángulo: A + B + C = 180º  B + C = 90º Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2

¿Cuánto más lejos está la Tierra del Sol que de la Luna? Aristarco de Samos fue matemático y astrónomo: el primero en proponer, 1500 años antes que Copérnico, un sistema astronómico heliocéntrico. De él nos ha llegado un libro, llamado “Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna”. En este libro afirma que cuando la Luna está exactamente medio llena, el ángulo entre la visual dirigida al centro del Sol y al centro de la Luna es de 87°. En nuestro lenguaje trigonométrico, la afirmación de Aristarco sería la siguiente: la razón de la distancia de la Luna a la Tierra, a la distancia del Sol a la Tierra, es de sen 3°. A través del gráfico puedes entender mejor la afirmación anterior. Según Aristarco, el valor del ángulo T debía ser de 87°, cuando en la realidad mide 89°50'. Con los valores que él había calculado, afirmó que el Sol está entre 18 y 20 veces más alejado de la Tierra que de la Luna, pero su afirmación era bastante inexacta: cometió un error de medida importante, pero su procedimiento matemático era correcto. Con un semicírculo graduado dibuja un ángulo de 87º y un ángulo de 89º y medio. Compáralos. Partiendo del valor real del ángulo T, se puede deducir, cuántas veces está el Sol más alejado de la Tierra que de la Luna. El Sol está unas 343 veces más alejado de la Tierra que de la Luna, cuando la luna está llena

Fórmula fundamental de la trigonometría y P(x, y) x 1 a (sen a)2 + (cos a)2 = sen2a + cos2a = x2 + y2 = r2 = 1