Teoría de Números Instructor: Luis Eduardo Falcón

Números Primos

Un número que no es primo se llama compuesto. Número Primo Un número p se dice que es primo si p es un entero positivo mayor que 1, cuyos únicos divisores son el 1 y p mismo. Un número que no es primo se llama compuesto.

Teorema Fundamental de la Aritmética Cualquier entero positivo mayor a 1 puede escribirse de manera única como un producto de primos, donde los factores primos se escriben en orden no descendente.

Demostración de Euclides: Por contradicción, suponiendo que hay un primo máximo, digamos Q, y construyendo el producto de todos los primos + 1, es decir, p1*p2*…*Q+1. La cardinalidad del conjunto de todos los números primos es , es decir, infinita numerable. Si n es un entero compuesto, entonces n tiene un factor primo no mayor que . Sea n=ab tal que 1 < a <= b < n entonces a <= n^(1/2), de lo contrario b >= a > n^(1/2) y entonces ab > n, lo cual es una contradicción. Así, 1 < a <= n^(1/2), y por el teorema fundamental de la aritmética “a” tiene un factor primo, el cual será menor igual que n^(1/2).

Para cualesquier número entero positivo n , existen al menos n enteros compuestos consecutivos. Al menos se sabe que los enteros consecutivos de la forma: son compuestos.

Conjetura de Goldbach: Cualquier número par positivo mayor a 2, puede escribirse como la suma de dos primos.

Una variante de la criba de Eratóstenes nos permite obtener (de una manera no muy eficiente por cierto) todos los primos menores que un entero dado: Por ejemplo, como entonces para encontrar todos los primos menores que 30, hay que cancelar todos los múltiplos del 2, 3 y 5.

Máximo Divisor Común

Máximo común divisor = Máximo divisor común Mínimo común múltiplo = Mínimo múltiplo común Mínimo común denominador = Mínimo denominador común

Se dice que el entero d es un divisor común de los enteros a y b si Por ejemplo, Son los divisores comunes del 24 y el 30.

El máximo divisor común, mdc, de dos enteros a y b, es el mayor entero que divide a ambos. El mdc de a y b lo denotamos:

24 84 12 42 6 21 2 7 2 3

Decimos que los enteros a y b son primos relativos si Por ejemplo:

Algoritmo de la División o de Euclides

Algoritmo de Euclides o de la División Si m y n son dos enteros cualesquiera, n > 0, entonces existe un par único de enteros, q y r, tales que: donde . Si r = 0 decimos que “n divide a m ”, o que “la división es exacta”.

Observemos que en el algoritmo de la división el numerador m puede ser cualesquier entero. Sin embargo, el denominador n debe ser un entero positivo. ¿Qué nos dice entonces la expresión ? ... que cualquier entero m puede escribirse como un múltiplo q de n, más un residuo r. Aclaramos que q puede ser positivo, negativo o cero. Y que el residuo r puede ser 0, 1, 2, ..., n – 1.

Analicemos el caso n = 3, es decir , entonces: Es decir, cualquier entero m puede escribirse como un múltiplo de 3, más un residuo r : 0, 1 o 2. Así, podremos agrupar TODOS los enteros en tres clases de equivalencia, módulo 3, las cuales denotaremos como [0], [1] y [2].

Algunos elementos de la clase [ 2 ] Clases de equivalencia, módulo 3: Algunos elementos de la clase [ 2 ]

Si m y n son dos enteros cualesquiera, n > 0, entonces por el algoritmo de la división existen q y r, tales que: donde , y definimos las operaciones:

Algoritmo de Euclides para obtener el mdc Sean a y b enteros positivos, entonces el máximo divisor común, mdc, de a y b es el último residuo no cero de la aplicación sucesiva del algoritmo de Euclides.

Si a y b son enteros positivos y entonces Por ejemplo:

Por ejemplo, para obtener (198, 252), se puede hacer en forma de listado calculando el módulo de los dos últimos encontrados: entonces, en este caso

Teorema de Lamé El número de divisiones necesarias para encontrar el máximo divisor común de dos enteros positivos a y b usando el algoritmo de Euclides, no es mayor que 5k, donde k es el número de dígitos (en base 10) del menor de los números a y b . Por ejemplo, para un número de 1000 dígitos decimales, en vez de realizar 10^1000 divisiones (utilizando el algoritmo que aprendemos en la primaria), con el algoritmo euclidiano se harían 5000 aproximadamente.

Congruencias Lineales

Teorema: Sean a, b, n enteros cualesquiera con n > 0 y donde entonces la congruencia lineal: Caso I: no tiene solución si .

Caso II: Tiene exactamente d soluciones módulo n, si . Además, dichas soluciones se encuentran espaciadas una distancia .

Caso III: Tiene solución única si d = 1. Y la solución puede obtenerse con la inversa de a, es decir,

Teorema: Sea p un número primo. El entero positivo a es su propio inverso multiplicativo módulo p si y sólo si o bien

Teorema: Sean a y b enteros. Existen enteros x y y tales que si y sólo si,

Teorema del Residuo Chino Sean enteros positivos y primos relativos dos-a-dos. Entonces el sistema de congruencias tiene una solución única módulo

Además, dicha solución se puede expresar como donde Lo cual implica O sea,

Grupo Sea n un entero positivo. Entonces el conjunto Si (a,n)=1 y (b,n)=1 entonces ap+nq = 1 y br+nt = 1 multiplicando y desrrollando 1 = (ap+nq)(br+nt) = ...=(ab)(M) + (n)(N) es decir, (ab, n)=1 Por lo tanto, Z*n es cerrada. La asociatividad es por herencia. Como (1, n)=1, la identidad también está en Z*n. Los inversos, son porque en Zn un elemento es invertible si y sólo si es primo relativo con n. (Ver pag. 278 del Scheinerman) Grupo Sea n un entero positivo. Entonces el conjunto es un Grupo con la operación de multiplicación en .

Inclusive el número de elementos que hay en es . Es decir Donde es la función de Euler.

Función de Euler Denotaremos por la cantidad de enteros de entre el 1, 2,..., n que son primos relativos con n. Por ejemplo: ya que los enteros 1, 5, 7 y 11 son los únicos primos relativos del 1 al 12 con el 12.

Teorema: Si p y q son dos números primos diferentes, entonces

Si expresamos los qp números como sigue: Demostración: Si expresamos los qp números como sigue: entonces todos los q múltiplos de p: dividen a qp. Entonces hay que restarle q términos a qp. sigue

Análogamente todos los p múltiplos de q dividen a pq. Entonces también hay que restarle ahora p términos a qp. Por ser p y q números primos, en las dos listas que acabamos de dar de los factores de qp el único término que se repitió fue el qp mismo. Entonces hay que sumarle un término qp. Además por ser p y q números primos, estos son los únicos factores que tiene qp. Así

Por ejemplo: 5 múltiplos de 3 3 múltiplos de 5