Esfuerzos en Vigas Fuerza cortante y Momento flector Tema 3 Resistencia de Materiales Escuela de Ingeniería Geológica Facultad de Ingeniería – ULA Profa. Grelys Sosa

Contenido del tema Fuerza cortante y momento flector, diagrama de momento por partes. Fórmula de la flexión. Cálculo de la magnitud y posición de la fuerza resultante de los esfuerzos en un área parcial de la sección transversal. Esfuerzo cortante horizontal. Relación entre esfuerzo cortante horizontal y vertical. Flujo cortante. Vigas compuestas homogéneas y heterogéneas.

Introducción El estudio de la flexión es muy complejo ya que el efecto de las fuerzas aplicadas son variables de una sección a otra de un elemento tipo viga. Dichos efectos corresponden a la fuerza cortante y al momento flector, al cual con frecuencia simplemente se le llama momento.

Tanto la fuerza cortante como el momento tensor producen dos tipos de tensiones en las secciones transversales de las vigas (una tensión normal, debida al momento tensor y una tensión cortante que depende de la fuerza cortante). Previo a la determinación de dichas tensiones es necesario aprender a determinar la distribución y cálculo de fuerzas cortantes y momentos flectores en vigas sometidas a distintas condiciones de carga.

Vigas con distintas condiciones de sujeción P q kgf/cm P2 P1 q kgf/cm Vigas estáticamente determinadas Sus reacciones pueden determinarse directamente mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio estático.

Vigas con distintas condiciones de sujeción Vigas hiperestáticas o estáticamente indeterminadas. La existencia de un exceso de reacciones hace que las ecuaciones de equilibrio estático sean insuficientes para determinarlas, requiriéndose por tanto ecuaciones adicionales.

Fuerza cortante y Momento Flector X P R2 R1 L x a R1 x Vr D.C.L Mr Para el caso en consideración Vr es numéricamente igual a R1, sí existieran otras fuerzas entre R1 y la sección de exploración la resultante no equilibrada sería igual a la suma de sus componentes verticales.

Fuerza cortante y Momento Flector La resultante no equilibrada de las fuerzas exteriores es la que se define como fuerza cortante en una sección y se representa por V, su valor es la suma de las fuerzas verticales exteriores que actúan a uno u otro lado de una sección, no obstante, es más sencillo sumar las fuerzas que actúan en la porción a la izquierda de la sección.

Fuerza cortante y Momento Flector Al calcular V, las fuerzas que actúan hacia arriba se consideran positivas. Fuerza Cortante positiva Fuerza Cortante negativa

Fuerza cortante y Momento Flector Como R1 y Vr son de sentido contrario, se produce un par M, igual a R1*x, denominado Momento Flector, porque tiende a curvar o flexar el elemento. El momento flector es la suma de todos los momentos de todas las fuerzas que actúan en la porción izquierda o derecha de una sección. R1 x Vr D.C.L Mr

Convención de signos para el Momento Flector Las fuerzas que actúan hacia arriba respecto de cualquier sección producen momentos flectores positivos y las fuerzas que actúan hacia abajo dan lugar a momentos flectores negativos.

Diagramas de fuerza cortante y momento flector Para determinar si una viga soporta un conjunto determinado de cargas, el diseñador debe conocer el estado de esfuerzos en toda la viga; para ello se determinan fuerzas internas y momentos en toda la longitud de la viga. Los valores de V y M pueden ser determinados como funciones de x, y ser presentados gráficamente (diagramas)

Al aplicar una carga, se origina una zona de compresión, superficie neutra, zona de tracción. En la superficie neutra (no hay tensiones ni compresiones)

Diagramas de fuerza cortante y momento flector

Consideraciones para trazar los diagramas de V y M Viga descargada: V corresponde a una línea recta horizontal y el momento a una línea inclinada. Viga con carga concentrada: V corresponde a una línea recta vertical (salto) y el momento corresponde a un quiebre en el punto de aplicación.

Consideraciones para trazar los diagramas de V y M Vigas con cargas distribuidas uniformemente: V se representa con una línea recta inclinada y el momento a una parábola de 2do grado.

Consideraciones para trazar los diagramas de V y M Vigas con cargas distribuidas variablemente: V se representa con una parábola de 2do grado y el momento con una parábola de 3er grado. Los valores máximos y mínimos del diagrama de momentos, corresponden a valores de fuerza cortante nula

Fórmula de la Flexión Previamente se ha estudiado las fuerzas internas originadas al cortar en un punto C cualquiera de una viga que soporta una carga en su extremo, dichas fuerzas internas corresponden a V y M. El par flector crea esfuerzos normales en la sección transversal, mientras que la fuerza cortante V produce esfuerzos cortantes.

Fórmula de la Flexión La flexión es un concepto muy importante, ya que se utiliza en el diseño de muchos elementos estructurales. Cuando un elemento está sometido a pares iguales y opuestos que actúan en el mismo plano, se dice que tal elemento está sujeto a flexión pura.

Fórmula de la Flexión Cuando se considera un prisma (elemento sólido) y se somete a flexión pura, se observa que varía la curvatura de su línea media, acortándose una fibras mientras que otras se alargan. Las primeras estarán sometidas a esfuerzos de compresión y las segundas a esfuerzos de tracción.

Fórmula de la Flexión Es evidente (admitidas las hipótesis de homogeneidad, continuidad e isotropía) que una fibra no se acortará ni se alargará, por lo que no estará sometida a tensión alguna, y por eso se le denomina fibra neutra.

Fórmula de la Flexión

Hipótesis fundamentales El sólido en flexión se mantiene dentro de los límites de elasticidad proporcional. Las secciones planas antes de la deformación siguen siendo planas luego de ellas (hipótesis de Bernoulli). Las deformaciones son suficientemente pequeñas para que la acción de las fuerzas externas no sean modificadas, en primera aproximación por la deformación.

Fórmula de la Flexión

Tensión por flexión M= momento flector Y= Distancia medida desde la línea neutra. I= Momento de Inercia Cuando hay simetría, se tiene que: En el eje neutro σ = 0

Distribución de la tensión por flexión

Esfuerzos cortantes en viga Շ = Esfuerzo cortante V = Fuerza cortante Me = Momento estático respecto a la línea neutra del área parcial A’, situada entre la paralela a la línea Neutra de altura Y1 y el borde superior de la sección. Y’ = Distancia desde el eje centroidal del área parcial a la línea neutra. El diagrama de distribución de la tensión por cortante, corresponde a una función parabólica.

Distribución de la Tensión Cortante

Ejemplos geológicos de flexión

Ejemplos geológicos de flexión

Flujo cortante Al multiplicar la tensión cortante por el ancho de la sección se obtiene q, denominado flujo cortante. q representa la fuerza longitudinal por unidad de longitud, transmitida a través de la sección de ordenada Y1

Relación entre tensión cortante horizontal y vertical Una tensión cortante vertical va siempre acompañada de una tensión cortante horizontal del mismo valor. Շh=Շv

Tareas Investigar la distribución del esfuerzo cortante en vigas Tipo T, Tipo I y en forma de cruz (perfiles T, I y en forma de cruz). Investigar las secciones transversales en las que el esfuerzo cortante máximo no ocurre en el eje centroidal. Investigar sobre vigas compuestas