PARÁBOLA

Parábola La parábola, se forma al cortar el cono con un plano que no pase por el vértice y sea paralelo a una generatriz. Vértice Generatriz Plano

La parábola como Lugar Geométrico: Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que EQUIDISTAN de un punto fijo, llamado foco, y una recta, llamada directriz. Foco Directriz

Elementos de la Parábola En toda Parábola conviene considerar: F : Es el punto fijo llamado Foco. D : Es la recta fija llamada Directriz. e : Es la recta perpendicular a la Directriz trazada por F y es el eje de Simetría de la Parábola. V : Se llama Vértice y es el punto de intersección de la Parábola con el Eje de Simetría. e F V D

Elementos de la Parábola p : Se conoce como Parámetro y es la distancia que existe entre el Foco y la Directriz. Su valor se representa por p ( FQ = p) Se cumple que el vértice por equidistar del foco y la directriz, es el punto medio del segmento FQ. Es por ello que VQ = VF =p/2 P : Es un punto determinado de la Parábola. p F V P ( x, y ) Q D

Ecuación analítica de la parábola La Ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto: F ( p , 0 ) es y2 = 4px. ¿Cómo puede probar que la ecuación anterior es verdadera? :

Resumiendo: De ahora en adelante a=p La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (p, 0) es y2=4px, La parábola se abre hacia la derecha si p>0 y se abre hacia la izquierda si p<0. La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (0, p) es x2=4py La parábola se abre hacia la arriba si p>0 y se abre hacia la abajo si p<0. Y el lado recto para cualquiera de los dos casos es igual a 4p (muestre que esto es verdadero, en cualquiera de los dos casos)

Ecuación analítica de la parábola con vértice en (h, k) Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (h, k) entonces la ecuación sería: 1.- La ecuación de la parábola con vértice en (h, k) y foco en (h + p, k) es: (y – k)2 = 4p(x – h) 2.- La ecuación de la parábola con vértice en (h, k) y foco en (h +p, k) es: (x – h)2 = 4py – k) Desarrollando la ecuación tendremos:    y2 + k2 – 2yk + 4px – 4ph = 0 ó x2 + h2 – 2xh + 4py – 4pk = 0 Cuando h = 0 y k = 0, se reducen a ecuaciones más simples hacemos y2 + Dx + Ey + F = 0 ó x2 + Dx + Ey + F = 0 Siempre que E = 0 y D = 0

Ejemplo Escríbase la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en (0, 4). Ecuación: x2=4py La distancia del vértice al foco es 4 y, por tanto, p = 4. sustituyendo este valor con p se obtiene: x2=16y DIBUJE ESTA PARABOLA INDICANDO TODOS SUS ELEMENTOS: LADO RECTO, VALOR P, VERTICE, FOCO, DIRECTRIZ

Aplicación a la física este tema lo verás en física iv: Por ejemplo; Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico, de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco.

EJERCICIO Con las formulas propuestas realice el siguiente ejercicio: Una parábola tiene Vértice (2, -3), y Foco (5, -3) Encontrar su ecuación en forma general Encuentre lado recto, ecuación de la directriz, y dibuje esta parábola indicando todos sus elementos.

Propiedad de reflexión de la parábola Esto se basa en el hecho de que, en los espejos planos, cóncavos y convexos, los rayos iguales se reflejan en ángulos iguales.