NOCIONES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS

1.- LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE 2.- EQUIVALENCIA FINANCIERA SIMPLE TANTOS EQUIVALENTES AÑO COMERCIAL Y AÑO CIVIL O NATURAL 3.- DESCUENTO O ACTUALIZACIÓN SIMPLE. DESCUENTO COMERCIAL DESCUENTO RACIONAL 4.- CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO COMPUESTO

CONCEPTO DE OPERACIÓN FINANCIERA Aquella operación en que se realiza un intercambio de capitales no simultáneos (con vencimiento en distintos momentos de tiempo) y con arreglo a unas norma (ley financiera) acordada por las partes, de manera que el intercambio favorezca a ambas partes. Ley Financiera: Ley de valoración que nos permite establecer equivalencias financieras entre capitales, para poder valorar una operación financiera.

LEY DE CAPITALIZACIÓN FINANCIERA Valor del dinero en el tiempo CN MONTANTE o valor final CAPITAL INICIAL C0 I INTERESES momento t0 tn t línea del tiempo Ley Financiera de capitalización: Ley financiera que permite calcular el equivalente financiero de un capital en un momento posterior del tiempo.

LEY DE DESCUENTO FINANCIERO CAPITAL INICIAL C0 D DESCUENTO CX VALOR ACTUAL tx t0 t línea del tiempo Ley Financiera de actualización o descuento: Ley financiera que permite calcular el equivalente financiero de un capital en un momento anterior del tiempo.

1.- LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE momento 0 1 I1 C0 C2 2 I C0 C3 3 I C0 CN n I I1 = C0 x i  Intereses Totales I = C0 x i x n I2 = C0 x i I3 = C0 x i ……… In = C0 x i

1.- LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE momento 0 1 I C2 2 C3 3 CN n I1 I2 I3 In Interés total I = C0 x i x n Montante CN = C0 + I CN = C0 (1 + i x n ) Capital inicial C0 = I / ( i x n ) C0 = CN / (1 + i x n ) Tiempo n = I / (C0 x i ) n =(CN - C0 ) / (C0 x i ) Tipo de Interés i = I / (C0 x n ) i =(CN - C0 ) / (C0 x n ) Hacer algunos ejercicios ¿ pg 18-20 McGraw 2011?

2.- TANTOS EQUIVALENTES EN CAP. SIMPLE CUANDO HABLAMOS DE LEYES FINANCIERAS EL TIPO DE INTERES Y EL TIEMPO SE MIDEN HACIENDO REFERENCIA AL MISMO PERIODO DE TIEMPO: i=2% mensual n=6 meses CAP. SIMPLE  I = C0 x i x n i=10% anual n=3años i= 4% trimestral n=7 trim. SI LA INFORMACIÓN QUE NOS DAN ES EN DISTINTA UNIDAD TEMPORAL HAY QUE TRANSFORMAR UNO DE ELLOS, EL TIPO O EN TIEMPO.

2.- TANTOS EQUIVALENTES. TANTOS EQUIVALENTES: Necesidad de comparar Tipos de Interés referidos a distintas unidades de tiempo. (Sobre todo fracciones de año). ¿Es mejor pagar un 1% mensual o un 12% anual? TANTOS EQUIVALENTES: DEFINICIÓN: i e im son tantos equivalentes si aplicando el tanto im a un capital C, durante m períodos produce el mismo capital final Cn que aplicando el tanto i al mismo capital C durante un año.  En capitalización simple: i = im · m g A i se le llama tanto o tipo anual (o efectivo) A im se le llama tanto o tipo franccionado o m-esimo Si son tipos semestrales valor m = 2 Si son tipos mensuales valor m = 12 Si son tipos cuatrimestrales valor m = 3 Si son tipos semanales valor m = 53 Si son tipos trimestrales valor m = 4 Si son tipos diarios (a.n) valor m = 365 Si son tipos bimensuales valor m = 6 Si son tipos diarios (a.c.) valor m = 360

2.- TANTOS EQUIVALENTES. Cn = C (1 + i*1) Cn = C (1+i) i e im son tantos equivalentes si aplicando el tanto im a un capital C, durante m períodos produce el mismo capital final Cn que aplicando el tanto i al mismo capital C durante un año. En capitalización simple: i = im · m g En 1 año un Capital C se convertirá en un Cn: En m periodos (=1 año) un Capital C se convertirá en un Cn’: Cn = C (1 + i*1) Cn = C (1+i) Cn’=C (1 + im * m)= C (1 + (i /m) *m) Cn’ = C ( 1 + i ) Por lo tanto, en un año los tipos i e im producen el mismo capital final Cn = Cn’

2.- TANTOS EQUIVALENTES. AÑO CIVIL O NATURAL 365 Días Meses naturales Aunque la duración del año es de 365 días, en la práctica financiera es frecuente que se simplifique reduciéndolo a 360, en cuyo caso se dice que se usa el año comercial: 12 meses de 30 días cada uno. AÑO CIVIL O NATURAL 365 Días Meses naturales AÑO COMERCIAL 360 Días 12 meses de 30 días

Otros manuales denominan a este tipo como d 3. LEY DE DESCUENTO FINANCIERO SIMPLE VALOR NOMINAL CN D DESCUENTO Otros manuales denominan a este tipo como d C0 VALOR EFECTIVO Tipo de descuento i t0 tn Duración de la operación n DESCUENTO COMERCIAL D = CN * n * i DESCUENTO RACIONAL D = C0 * n * i

Se calcula el descuento sobre el valor nominal del efecto: A. DESCUENTO COMERCIAL d Dc n C0 Cn Se calcula el descuento sobre el valor nominal del efecto: ¡¡RECORDAR!! El tiempo y el tipo de interés deben expresarse en la misma unidad de tiempo. Si se trabaja con días puede usarse año comercial (360) o natural (365) Dc = Cn · n · i Co = Cn – Dc Co = Cn - Cn · n · i Co = Cn (1 - n · i)

B. DESCUENTO RACIONAL DR = C0 · n · i Cn = C0 + DR C0 Cn Se calcula el descuento sobre el valor efectivo del efecto: DR = C0 · n · i Normalmente lo que conocemos es Cn Cn = C0 + DR Cn = C0 + C0 · n · i Cn = C0 (1 + n · i)  C0 = Cn / (1 + n · i) i DR = [Cn / (1 + n · i)] · n · i = Cn · n · ----------- 1 + n · i

Resulta evidente que Dr < Dc Resumiendo . El descuento comercial (Dc) Descuento comercial: Dc = Cn · n · i Efectivo o capital actual: C 0 = Cn · (1 - n· i ) Resulta evidente que Dr < Dc . El descuento racional o actualización (Dr) Descuento racional: Efectivo o capital actual:

4. LEY DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA CN n I …….. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA C3 3 I C3 = C2 * (1 + i* t3) C2 = C1 * (1 + i* t2) C2 2 I C1 = C0 * (1 + i* t1) C0 C1 momento 0 1 I

Ecuación básica de la cap. Comp. 4. LEY DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA C0 C1 t1 I C2 t2 C3 t3 CN tn Cálculo del Montante con interés compuesto C1 = Co * (1 + i* t1) C2 = C1 * (1 + i* t2) = Co * (1 + i* t1) * (1 + i* t2) ……………. Cn = Co * (1 + i x t1 ) * (1 + i x t2 ) * … * (1 + i x tn) Si los períodos son iguales y unitarios t1 = t2 = t3 = .... = tn = 1 Ecuación básica de la cap. Comp. Cn = C0 * (1 + i ) n

4. LEY DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA t1 I C2 t2 C3 t3 CN tn Montante Cn = Co * (1 + i ) n Interés total I = Cn - C0 I = C0 x [(1 + i)n – 1] Tipo de Interés i =(Cn/C0 )1/n - 1 Tiempo log Cn - log C0 log [Cn /C0 ] n =---------------- = --------------- log (1 + i ) log (1 + i ) Capital inicial C0 = Cn x (1 + i) -n

2. COMPARACIÓN ENTRE CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y COMPUESTA tn CN en capitalización compuesta C0 t0 CN en capitalización simple Cn = Co x (1 + i · n) Capitalización simple: Cn = Co x (1 + i) n Capitalización compuesta:

En capitalización compuesta 3. TANTOS EQUIVALENTES TANTO FRACCIONADO En capitalización compuesta i(m) Es el interés referido a un período de tiempo m TANTO NOMINAL j (m) = m · i(m) Donde: j (m) = Representa el tanto nominal anual m = Es el número de veces que dicho período está incluido en el año. i(m) = Es el interés efectivo referido al período m, o interés fraccionado TANTO EFECTIVO i = (1+ i(m) ) m - 1 Donde: i = TAE tasa anual equivalente m = Es el número de veces que dicho período está incluido en el año. i(m) = Es el interés efectivo referido al período m, o interés fraccionado j(m) NO ES FINANCIERAMENTE EQUIVALENTE A i

4. DESCUENTO O ACTUALIZACIÓN COMPUESTOS CN CAPITAL FINAL O NOMINAL D DESCUENTO C0 CAPITAL INICIAL t momento 0 CAPIT. Cn = Co x (1 + i) n DESCONTAR Co = Cn x (1 + i) -n línea del tiempo

5. EQUIVALENCIA FINANCIERA EN C. COMP. - t t Con la fórmula de la capitalización / descuento compuestos se pueden trasladar capitales de varios tiempos distintos a un mismo momento en el que pueden compararse, sumarse, sustituirse, etc. Los problemas de capitalización compuesta pueden resolverse de dos formas: Se trasladan los capitales necesarios, generalmente al momento 0, y se comparan. Se trabaja con las fórmulas de equivalencia, vencimientos medio y común para capitalización compuesta.