Apuntes Matemáticas 2º ESO Tema 13.8 VOLUMEN PIRAMIDES @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE El volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma que tiene idéntica superficie de la base e igual altura. Por tanto tenemos: V = Sb.h / 3 Es indiferente el polígono de la base, con tal de tener IGUAL ÁREA que el prisma. La base pues puede ser un polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado, rombo, pentágono, hexágono, etc ), o un polígono irregular (triángulo, rectángulo, romboide, trapecio, trapezoide, etc) h h a l @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo 1 Hallar el volumen de una pirámide de base cuadrada, de 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura. El volumen es: V = Ab.h / 3 = l 2. h / 3 = 5 2 .10 / 3 = 250 / 3 cm2 Ejemplo 2 Hallar el volumen de una pirámide de base exagonal inscrita en un cubo de 6 cm de arista. El lado del exágono de la base será la mitad del lado del cubo. V = Ab.h / 3 Ab = p.apo/2 = [6.(6/2)].[3.√3 / 2] / 2 = = 18.1,5.√3 / 2 = 13,5.√3 cm2 V = 13,5.√3. 6 / 3 = 27.√3 cm3 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo 3 Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura. Hallar las dimensiones de una pirámide regular de igual altura y volumen, sabiendo que su base es hexagonal. El volumen del prima regular dado será: V = Ab.h = l 2 . h = 5 2 .10 = 250 cm2 En la pirámide: V = Ab.h = Ab. 10 250 = Ab.10  Ab = 25 cm2 En el hexágono: A = 6.l.[ l.√3 / 2) / 2 25 = 6 l 2 . √3 / 4  100 / 6√3 = l 2 l 2 = 9,62  l = 3,10 cm es el lado del hexágono de la base. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO TRONCO DE PIRÁMIDE Área lateral Es el área de todos los trapecios isósceles laterales. Al ser la base un polígono, si n es el número de lados, l la medida de cada lado, y Apo la apotema del tronco de pirámide, tenemos: Al = (P+p).Apo / 2 Siendo P el perímetro de la base mayor. Y p el perímetro de la base menor. Área de la base Si es un cuadrado: Ab = l2 Si es un hexágono: Ab = l2.√3 / 4 Etc. Área total Es la suma del área lateral y de las bases. At = (P+p).Apo / 2) + Sb + S’b @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo_1 La altura de un tronco de pirámide de base cuadrada mide 4 cm y el lado de las bases miden 12 y 6 cm. Hallar el área lateral. El área lateral es: Al = (P+p). Apo / 2 La apotema es hipotenusa del triángulo rectángulo (en amarillo) cuyos catetos son la altura y la mitad de la diferencia de los lados de las bases. Apo = √ [42 + (6-3)2)] = √ (42 + 32) = 5 cm Luego: Al = (P+p). Apo / 2 = = (4.12+4.6).5 / 2 = 180 cm2 b=6 Apo h=4 B=12 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo_2 La altura de un tronco de pirámide de base exagonal mide 4 cm y el lado de las bases miden 12 y 6 cm. Hallar el área lateral. El área lateral es: Al = (P+p). Apo / 2 La apotema es hipotenusa del triángulo rectángulo (en amarillo) cuyos catetos son la altura y la diferencia de las apotemas de las bases. apo1 = B.√3 / 2 = 12.√3 / 2 = 6.√3 cm apo2 = b.√3 / 2 = 6.√3 / 2 = 3.√3 cm Apo = √ [42 + (6 √3 -3 √3)2] = = √ (16+27) = 6,56 cm Luego: Al = (P+p). Apo / 2 = = (6.12+6.6).6,56 / 2 = 354,10 cm2 b=6 h= 4 Apo B=12 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO b=6 Ejemplo_3 Hallar el volumen del tronco de pirámide del Ejemplo 1. El volumen será: V = (AB+Ab).h / 2 AB = 122 = 144 Ab = 62 = 36 V = (144+36).4/2 = 360 cm3 Ejemplo_4 Hallar el volumen del tronco de pirámide del Ejemplo 2. AB = p.apo/2 = 6.12.(12. √3 / 2) / 2 = 216.√3 cm2 Ab = p.apo/2 = 6.6.(6. √3 / 2) / 2 = 54.√3 cm2 V = (216.√3+ 54.√3).4/2 = 540.√3 cm3 Casi tres veces más volumen que el Ejemplo 3 h=4 B=12 b=6 B=12 h= 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO B=12