DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL. Introducción La mayor parte del contenido matemático en los programas de Ingenierías y Ciencias naturales se desarrolla en los cursos de Cálculo, y se debe a la gran cantidad de problemas de aplicación de estas disciplinas que se resuelven mediante procesos de derivación e integración y análisis matemático. Además, tanto la derivada como la integral se definen como un límite y el análisis matemático se soporta sobre la teoría de límites.

Se puede decir entonces que: 1. El límite de una función es el concepto central del cálculo. 2. Es fundamental comprender muy bien el concepto de límite de una función si deseamos adquirir el conocimiento y manejo adecuado de los otros conceptos de cálculo y sus aplicaciones. Objetivo: Construir la definición matemática (formal) del límite de una función de una variable real.

Requisitos para la construcción de la definición matemática del límite de una función. Para abordar con éxito la construcción de la definición matemática del límite de una función es recomendable recordar dos objetos geométricos: Intervalo abierto en los reales y el valor absoluto de un número.   Intervalo abierto: Sea a y b dos números reales, con a > b, se denota el intervalo abierto (a , b) y se define (a , b) = { x / a < x < b } Su representación geométrica es: _______(_______________)______ a b

En el intervalo abierto (a , b), a y b son los extremos del intervalo   b - a, es la longitud del intervalo = c, es el centro del intervalo La distancia r, del centro a cualquiera de los dos extremos se llama el radio del intervalo. Por ejemplo, el intervalo (1,5) tiene extremos 1 y 5, el centro es 3 y el radio es r = 2. Es decir, (1,5) es el intervalo con centro 3 y radio 2. Valor absoluto: Desde el punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número es la distancia de dicho número al origen de coordenada.

El valor absoluto de un número x se simboliza por /x/ y se define por   Siempre se tiene que y otras propiedades y Recordemos la propiedad: a > 0, La propiedad afirma que las soluciones de la desigualdad es el intervalo (-a, a), es decir, las soluciones de la desigualdad están determinadas por cualquier X que está dentro del intervalo, con centro en el origen y radio a.  

La desigualdad , es lo mismo que el intervalo con centro en 2 y radio 3. Resolviendo -1 < x 5, el intervalo (-1, 5) que tiene radio 3 y centro 2. Para decir que: x pertenece al intervalo con centro en 1 y radio 4, escribimos   quiere decir que x pertenece al intervalo con centro 3 y radio 0.4, esto es x € (2.6, 3.4). En general si δ > 0 , < δ, significa que x pertenece al intervalo con centro en a y radio δ. Este es el intervalo (a – δ, a + δ). Si ε > 0, ε, es lo mismo que: f (x) pertenece al intervalo (l- ε, l+ ε) Considerando lo expuesto en los requisitos anteriores intentemos acceder a la construcción matemática de la definición de límite de una función de una variable real.    

Idea intuitiva del límite de una función de variable real. Supongamos una función de variable real y = f(x), cuya gráfica es la figura uno: Analicemos el comportamiento de los valores f (x) de las imágenes de la función, cuando los valores de x se encuentran muy cercanos al valor a. Decir que x se encuentra muy cercano a a, significa que x trata de convertirse en a, o simplemente que x tiende a a. Lo que se simboliza así: x → a.   y x a f l Fig. 1  

Si x → a, el acercamiento lo hace por la derecha de a (por valores mayores que a) y también por la izquierda de a (por valores menores de a) Si x → a, pensamos que x se encuentra dentro de un intervalo que tiene centro en a y radio muy pequeño δ. Lo que indica que x pertenece al intervalo (a- δ, a + δ) o simplemente fig. 2     F(x) y x a f l a-δ a+δ ( ) x

o también f(x) pertenece al intervalo (l – ε, l + ε) Fig. 3 En la figura 2 los valores de x más cercanos a a tienen su imagen más cercana a l. Dando a entender que cuando x → a, f (x) → l f(x) → l, significa que f (x) está dentro de un intervalo de centro l y radio muy pequeño ε. Esto lo podemos simbolizar así: o también f(x) pertenece al intervalo (l – ε, l + ε) Fig. 3   l+ε l-ε F(x) y x a f l a-δ a+δ x

Si se tiene que f (x) → l cuando x → a. Decimos que: el límite de f(x) cuando x tiende a a es l. O también que: el límite de la función f es l cuando x tiende a a. Se abrevia escribiendo   En estas condiciones tener equivale que para todo número ε >0, no importa que tan pequeño sea, existe un número ( depende de ε), tal que si x se encuentra en el intervalo con centro en a y radio entonces f(x) se encuentra en el intervalo con centro en l y radio ε. Todo esto se puede recoger simbólicamente escribiendo: ⇔ para todo ε > 0, existe tal que si 0< entonces ε  

Fig. 4   y x a f l Fig. 4 O   Nota 1. Cuando la función aplica el intervalo (a- δ, a + δ) en el intervalo (l – ε, l + ε)   Nota 2: si , x se acerca por ambos lados a a, pero nunca puede llegar a ser x = a. Por eso escribimos 0< para evitar la posibilidad que x= a Nota 3. Si en la figura 3 se excluye el valor de a del dominio de la función f (fig. 4) se sigue cumpliendo  

. Nota 4. En la figura 5 también   Nota 5. El cuantificador universal “para todos” se simboliza por y el cuantificador existencial “existe un” se simboliza así . y x a f l Fig. 5   O

DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL. Sea y = (f (x), una función de una variable real definida en un intervalo abierto que contiene al valor a (excepto posiblemente en x=a).   ⇔ ε > 0, ε), tal que si entonces ε.