Distribuciones habituales Tema 5 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Descripción breve del tema Distribuciones discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Depto. Estadística, Universidad Carlos III Objetivos Adquirir soltura con el manejo de funciones de distribución, probabilidad y densidad. Reconocer los modelos básicos de distribución: Binomial, Geométrica, etc. Reconocer el papel central que juega la distribución Normal. Aplicar con soltura el Teorema Central del Límite. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Descripción breve del tema Distribuciones discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución de Bernoulli Una variable aleatoria que describe el número de éxitos en 1 realización de un experimento, en el que la probabilidad de éxito es p decimos que sigue distribución de Bernoulli de parámetro p. X ~ B(1, p) Xº “número de éxitos en 1 realización” Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución de Bernoulli Función de probabilidad: P(X = 1) = p ; P(X = 0) = 1-p Función de distribución: Parámetros: E[X] = p ; Var[X] = p(1-p) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución de Bernoulli Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Descripción breve del tema Distribuciones discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución Binomial Una variable aleatoria que describe el número de éxitos en n realizaciones independientes de un experimento, en el que la probabilidad de éxito en cada realización es p decimos que sigue distribución binomial de parámetros n y p. X ~ B(n, p) Xº “número de éxitos en los n intentos indep.” Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución Binomial Función de probabilidad: Podemos escribir X=X1+…+Xn donde las Xi son variables de Bernoulli e independientes. Parámetros: E[X] = np ; Var[X] = np(1-p) Si X~B(n1, p) e Y~B(n2, p) son independientes, entonces X+Y~B(n1+n2, p) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución Binomial Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Descripción breve del tema Distribuciones discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución Geométrica Una variable aleatoria que describe el número de realizaciones independientes de un experimento para el que la probabilidad de obtener éxito en cada realización es p hasta obtener el primer éxito, sigue distribución Geométrica o de Pascal de parámetro p. X ~ G(p) Xº “número de veces que hay que repetir el experimento hasta conseguir el primer éxito” Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución Geométrica Función de probabilidad: Parámetros: E[X] = 1/p ; Var[X] = (1-p)/p2 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución Geométrica Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

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Distribución de Poisson Una variable aleatoria que describe el número de sucesos ocurridos en una región, de tal modo que dichos sucesos ocurren independientemente y con una tasa constante decimos que sigue distribución de Poisson de parámetro l. X ~ Ã(l) Xº “número de sucesos ocurridos en una región” Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución de Poisson Función de probabilidad: Parámetros: E[X] = l ; Var[X] = l Si X~Ã(l1) e Y~Ã(l2) son independientes, entonces X+Y~Ã(l1+l2) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución de Poisson Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

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Distribución Uniforme (continua) Una variable aleatoria X con distribución uniforme entre a y b (a<b) representa un número elegido al azar entre los valores a y b, de tal modo que la probabilidad de que dicho número esté en cualquier subconjunto del intervalo (a,b) depende exclusivamente del tamaño de dicho conjunto, X~U(a,b) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución Uniforme (continua) Función de densidad: Función de distribución: Parámetros: E[X] = (a+b)/2 ; Var[X] = (b-a)2/12 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución Uniforme (continua) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Descripción breve del tema Distribuciones discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución Exponencial Si el número de sucesos que ocurren en un tiempo t sigue distribución de Poisson proporcional a dicho tiempo Ã(lt), entonces la variable aleatoria Xº “tiempo entre sucesos” sigue distribución exponencial de parámetro l. X ~ Exp(l) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución Exponencial Función de densidad: Función de distribución: Parámetros: E[X] = l-1 ; Var[X] = l-2 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución Exponencial Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución Exponencial La distribución exponencial no tiene memoria. Dados t1,t2>0 y una variable aleatoria T con distribución exponencial P(T > t1+t2 | T > t1) = P(T > t2) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

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Depto. Estadística, Universidad Carlos III Distribución Normal La distribución Normal o de Gauss es el modelo probabilístico más importante. Se utiliza para modelar gran número de fenómenos aleatorios, entre ellos el ruido y los errores en la medida. Aparece además como distribución límite en el Teorema Central del Límite. Sus parámetros son la media m y la desviación típica s , X ~ N(m,s) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Depto. Estadística, Universidad Carlos III Distribución Normal Función de densidad normal estándar N(0,1): Función de densidad N(m,s): Parámetros: E[X] = m ; Var[X] = s2 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Depto. Estadística, Universidad Carlos III Distribución Normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Depto. Estadística, Universidad Carlos III Distribución Normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Distribución Normal Propiedades de la Normal. Si X ~ N(m,s) , para cualesquiera a y b, aX+b ~ N(am+b , |a|s) Si X ~ N(m1,s1) e Y ~ N(m2,s2) indep, para a, b aX+bY ~ N(am1+bm2 , (a2s12+b2s22)1/2) Tipificación. Dada X~N(m,s), la variable aleatoria (X-m)/s sigue distribución N(0,1). A esta transformación se le llama tipificación Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Depto. Estadística, Universidad Carlos III Tabla de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Teorema Central de Límite Dada X1,X2,…,Xn n variables aleatorias independientes, con medias y varianzas finitas E[Xi]=mi y Var[Xi]=si2, su suma sigue aproximadamente distribución normal X1+X2+…+Xn»N(Si=1,nmi , (Si=1,nsi2)1/2) Buena aproximación si n > 30. Si las variables son discretas, para aproximar su suma por una continua, realizamos corrección por continuidad. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Aproximaciones con la Normal Aproximación Binomial-Normal. Una binomial B(n,p) puede construirse como suma de n variables de Bernoulli independientes. Aplicando el TCL, si n > 30 y np(1-p) > 5, aproximamos una B(n,p) por una Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Aproximaciones con la Normal Aproximación Poisson-Normal. Una Poisson Ã(l) con l > 5 puede aproximarse por una normal N(l, l1/2) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Descripción breve del tema Distribuciones discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Depto. Estadística, Universidad Carlos III Chi cuadrado Si X1,X2,…,Xn son n variables aleatorias independientes con distribución N(0,1), entonces Y=X12+X22+…+ Xn2 es una variable aleatoria con distribución chi cuadrado con n grados de libertad, Y ~ cn2 E[Y] = n ; Var[Y] = 2n Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Depto. Estadística, Universidad Carlos III Chi cuadrado Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

t de Student Si X es una variable aleatoria normal estándar e Y es independiente de ella con distribución chi cuadrado con n grados de libertad, entonces X/(Y/n)1/2 sigue distribución t con n grados de libertad E[Z] = 0 si n ³ 2 ; Var[Z] = n/(n-2) si n ³ 3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Depto. Estadística, Universidad Carlos III t de Student Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Depto. Estadística, Universidad Carlos III F de Fisher Si X es una variable aleatoria chi cuadrado con n1 grados de libertad e Y es independiente de ella con distribución chi cuadrado con n2 grados de libertad, entonces (X/n1)/(Y/n2) sigue distribución F con n1 y n2 grados de libertad Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

Depto. Estadística, Universidad Carlos III F de Fisher Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III