Modelo básico de regresión Lineal (MBRL) Rafael de Arce y José Ángel Fernández Sampedro UAM

Introducción

Bases del Método de Regresión Lineal MATEMÁTICAS FORMULACIÓN DE UNA TEORÍA IMPLICANDO CAUSALIDAD MBRL MEDIR RELACIONES ENTRE VARIABLES ESTADÍSTICA

Definición Método estadístico que permite cuantificar una relación de dependencia entre variables cuantitativas (1) Variable Endógena (explicada) Y V. Dependiene, V. de respuesta, Regresando, V. causada Variable/s Exógena/s (explicativas) X V. Independiente, V de control, Regresor, V. causante Los MBRL pueden ser Simples: Una sola variable exógena Múltiples: Más de una variable exógena (1) Excepcionalmente, entre las variables explicativas puede haber alguna cualitativa

El Tiempo y el espacio en los MBRL Datos de corte transversal Distintas observaciones consideradas en el mismo momento del tiempo Ejemplo: (1) número de viviendas construidas en cada CC.AA. durante el año 2007. (2) Presión sanguínea de un grupo de 20 pacientes. Datos de series temporales Observaciones de una misma variable recogidas en diferentes periodos de tiempo. Ejemplo: (1) número de viviendas construidas en Madrid a lo largo de los últimos 20 años. (2) Presión sanguínea de un paciente en las últimas 24 horas. Datos de Panel Observaciones de cada uno de los individuos a través del tiempo Ejemplo: (1) evolución del número de viviendas construidas en cada CC.AA. en los últimos 20 años, (2) Presión sanguínea de 20 pacientes con mediciones cada 10 minutos en las últimas 24 horas.

Fases del Método de Regresión Lineal Especificación del Modelo: Apoyado en una teoría, se plantea que una variable es explicada por otras u otras Se determina la forma de cuantificar cada una de estas variables (explicada y explicativas) Se recopila información estadística sobre ellas Se plantea la relación matemática que conecta variable explicada y explicativas Estimación del modelo: Se determina el valor de los parámetros que conectan cada una de las variables explicativas con la explicada Contraste y validación del modelo: A partir de análisis de significatividad estadística y del ajuste entre los resultados reales y los obtenidos con el modelo (errores) se determina la validez del modelo Utilización del modelo: Predicción y simulación del posible comportamiento de la variable explicada ante cambios en la variable explicativa Análisis estructural: determinación de la importancia relativa de cada variable explicativa para determinar a la explicada Contraste de teorías: ¿la especificación realizada se confirma con los datos?

Ejemplo de Especificación Teoría: “la probabilidad de que cambie el partido del presidente de los EE.UU. viene explicada por si durante el mandato ha habido crecimiento/decrecimiento económico”. La forma en la que se relacionan estas variables explicativas con la explicada es una función logística (linealizable). Las variables a emplear, tomadas desde 1900 hasta 2004, son las siguientes: Explicada: toma valor uno si hay cambio de partido en el gobierno y cero si no lo hay. Variable crecimiento: número de años de decrecimiento económico durante cada mandato presidencial

Tabla de datos Período Presidente Partido Cambia partido Años crisis 1900 William McKinley Republican 1 1904 Theodore Roosevelt 2 ….. 1984 Ronald Reagan 1988 George H. Bush 3 1992 William J. Clinton Democratic 1996 2000 George W. Bush 2004

Aproximación intuitiva

Diagrama de dispersión

Recta de ajuste

Recta: El mejor ajuste y un buen ajuste Manual SPSS Pgs: 1-4 a 1-8

El modelo básico de regresión lineal

De la relación causal teórica al planteamiento del modelo: Las variables explicativa son no estocásticas E (u) = 0 Var (u) constante E(ui, uj) = 0 para todo i=j

Hipótesis Básicas del Modelo Muestra suficiente Regresores deterministas No multicolinealidad Exogeneidad Permanencia Estructural Media nula de las pertubaciones aleatorias Homocedasticidad No autocorrelación Distribución normal de las perturbaciones aleatorias

Estimación de los parámetros Mínimos Cuadrados Ordinarios Aquellos que minimizan la suma de los residuos al cuadrado. El error cometido en la estimación (residuo) es el estimador de la perturbación, y por tanto el objetivo a minimizar. Máxima Versomilitud Hacen máxima la función de verosimilitud (función de densidad conjunta de la información muestral) Requieren conocer la distribución de probabilidad del modelo

Deducción de los estimadores MCO (I) Se busca la recta que minimizan la suma al cuadrado de los residuos

Aplicación Práctica (Modelo simple)

Aplicación Práctica (Modelo simple) Ecuación de regresión Bondad de ajuste

CONTRASTE Sig: Probabilidad de equivocarme si rechazo la hipótesis nula Sig <0,05: Rechazo la Hipótesis nula Contraste de Significatividad conjunta del modelo: F Contraste de Significatividad individual de cada uno de los parámetros: t

MBRL: Múltiple Planteamiento Hipótesis Independencia en los residuos: No autocorrelación Homocedasticidad: Varianza de residuos constante No-colinealidad: No existe relación lineal exacta entre ninguna variable independiente. Normalildad

Utilización del Modelo Predicción: sabiendo que un sujeto entró en la empresa con un salario de 1000 euros, ¿cuál será su salario actual? Simulación: ¿Cuál sería el salario actual de un sujeto que hubiera entrado en la empresa con un salario de 1000 euros? ¿y si fuera de 500 euros? Contraste de teorías: ¿la variable salario inicial sirve para explicar el salario actual? Sí, ya que el valor de su parámetro estimado siempre es distinto de cero.