Presentación Geometría y Trigonometría INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECyT No.13 RICARDO FLORES MAGÓN Presentación De la Unidad de Aprendizaje Geometría y Trigonometría Elaborada por la Profesora Yolanda Rodríguez Cruz

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Unidad I FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

COMPETENCIA PARTICULAR Emplea las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas en situaciones teóricas y reales de su entorno personal, social y/o global. RAP 1.1 Identificar las funciones exponenciales y logarítmicas en sus diferentes expresiones: verbal, simbólico y grafico. 1.2 Aplicar los principios de las propiedades fundamentales de funciones exponenciales y logarítmicas en la solución de ecuaciones. 1.3 Utilizar las funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas en la solución de problemas de su entorno personal, social y/o global.

Función Una función es la relación existente entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda (o ninguno), la cual es llamada imagen. A la función se le suele designar por f y la imagen por f(x), siendo x la variable independiente. Variable independiente: la que se fija previamente. Variable dependiente: la que se deduce de la variable independiente.

Representación de las funciones Las funciones se pueden representar de distintas maneras: Mediante una expresión matemática: ecuación de la forma y = f(x) cuando la relación es funcional. Ejemplo: y = x + 3. Dominio natural es todos los reales. Ejemplo: Para todo x, hay un número entero y vale más de tres unidades.

Mediante una tabulación (tabla que permite representar valores de una función en este caso y=x+3). Como pares ordenados: A = (-2, 0), (-1, 1), (0, 2), (1, 3)…….. (x, x +3) x y 2 5 1 4 3 -1 -2

Funciones logarítmicas y exponenciales Función exponencial: La siguiente es una función exponencial base “a” f(x) = a×, donde “a” representa un número real positivo constante diferente de 1. Función logarítmica: f(x) = loga x En la cual observamos que “a” es la base del logaritmo.

Propiedades de los logaritmos y potencias. Para números reales positivos, y n números real: Logaritmos Potencias

Conversión de función exponencial a logarítmica y viceversa loga x = y Para obtener la función exponencial debemos tener en cuenta que si la base del logaritmo es “a”, será “a” la base de la función exponencial, “y” será el exponente y “x” el resultado. a× = y Dominio: es el conjunto de número reales válidos en una función con respecto al eje de las x. Rango: es el conjunto de números reales validos en una función con respecto al eje de las y.

CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Unidad II CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

Competencia particular Utiliza el método axiomático deductivo para establecer un lenguaje formal. RAP 2.1 Identificar los conceptos básicos de la geometría euclidiana y el método axiomático deductivo para establecer un lenguaje formal. 2.2 Analiza comparativamente las diferentes figuras geométricas y sus propiedades en su entorno académico y social. 2.3 Utilizar el método axiomático deductivo y las propiedades de las figuras geométricas para solucionar problemas académico y social.

Conceptos Previos Concepto Definición Punto Recta Plano Semirrecta Descripción gráfica Punto Es la marca más pequeña que puede efectuarse, carece de anchura, longitud, altura. Recta Se extiende en dos sentidos, y sus puntos se acomodan en la misma dirección Plano Es el ente ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas Semirrecta Es la parte de una recta formada por todos los puntos ubicados hacia un lado de un punto fijo.

Concepto Definición Descripción gráfica Segmento de recta Paralelas Es una recta cortada por dos puntos A B Paralelas SON RECTAS QUE SE DESPLAZAN EN LA MISMA DIRECCIÓN Perpendiculares SON RECTAS QUE SE CORTAN EN UN ANGULO DE 90° Espacio ESTAMOS INMERSOS EN ÉL; ES TODO LO QUE NOS RODEA Y ES ILIMITADO ……. ……….

Ángulos Llamamos ángulo a la abertura resultante de la unión de dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. ángulo vértice

Notación y simbología de los ángulos Cualquier letra mayúscula situada en el vértice fuera del ángulo hace referencia al ángulo en cuestión. Por ejemplo A Se puede usar también un símbolo griego dentro del ángulo, por ejemplo en el ángulo φ ( fi) Tres letras mayúsculas, cada una refiriéndose a una semirrecta dejando la letra de en medio definiendo al vértice en cuestión. Por ejemplo A-B-C A φ A C B

Clasificación de ángulos según su medida. Imagen Ángulo agudo Mide menos de 90° Ángulo recto Mide 90° Ángulo obtuso Mide más de 90° y menos de 180° Ángulo llano Miden 180° Ángulo perigonal Miden 360°

Clasificación de ángulos por su posición Nombre Definición Imagen Ángulos opuestos por el vértice. Son los que resultan cuando dos rectas se cortan de manera que se forman dos pares de ángulos iguales. Ángulos adyacentes. Son los que están formados de manera que tienen un lado común y los otros dos pertenecen a la misma recta . b d a c a = c a b

Clasificación de ángulos por la suma de sus medidas Nombre Suma de medidas Imagen Complementarios µ +Ø = 90° Suplementarios µ+Ø = 180° Conjugados µ+Ø = 360° µ Ø µ Ø µ Ø

Paralelas Cortadas por una secante Nombre de Ángulos Ejemplo (figura) Características Internos i, j, k, l Externos g, h, m, n Alternos internos i – l j – k Iguales entre sí Alternos externos g – n h – m Correspondientes g – k i – m h – l j – n Colaterales internos j – l i – k Suplementarios Colaterales externos g – m h – n Opuestos por el vértice g – j h – i k – n l – m E F D C B A g h k l n m j i

Teorema de Tales El teorema de tales establece lo siguiente: Si varias rectas paralelas cortan a dos transversales, determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales. l l’ 6 3 3 6 6 12 = 6 12

Triángulos Triangulo: figura geométrica localizada en un plano, formada por tres lados y tres ángulos. Triángulo equilátero: son los triángulos en los que sus tres lados miden exactamente lo mismo. Triángulo isósceles: triángulos en los que dos de sus lados tienen exactamente la misma medida, siendo esta diferente a la del tercer lado. x x x y y x

Triangulo escaleno: los tres lados que forman este tipo de triángulo presentan medidas diferentes. Triangulo rectángulo: un ángulos del triángulo mide 90° grados (ángulo recto). y x z A B C

Triángulo oblicuángulo: un ángulo de los tres que forman este tipo de triángulos es obtuso (90°<x<180°) Triángulo acutángulo: los tres ángulos de este tipo de triangulo son aguados. (Miden menos de 90°). A C B A B C

Mediana: segmento que une el vértice de un triángulo con el punto medio de su lado opuesto. Todos los triángulos tienen tres medianas. Las medianas se cortan en un punto en el interior del triángulo llamado Baricentro, el cual es el centro de gravedad del triángulo. Mediatriz: recta perpendicular a cada uno de los lados, que pasa por el punto medio de estos.

Altura: recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto o la prolongación de este. Bisectriz: recta que divide a un ángulo en dos exactamente iguales.

Teoremas importantes Teorema 1: La suma de los ángulos internos de cualquier triangulo mide 180°, esto es: A+B+C=180°. B A C

Teorema 2: La suma de los tres ángulos externos de cualquier triangulo es igual a 360°, esto es: L+M+N=360°. M C L A B N

Teorema 3: Un ángulo externo de cualquier triangulo es igual a la suma de los ángulos no adyacentes a el. Esto es: C + B = D C D B

Teorema de Pitágoras La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. C a b B A c

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECyT No.13 RICARDO FLOERES MAGÓN Unidad III TRIGONOMETRÍA

COMPETENCIA PARTICULAR Emplea las funciones trigonométricas en la solución de triángulos y ecuaciones que se presentan en situaciones de su entorno académico y o social RAP 3.1 Identificar las funciones e identidades trigonométricas así como sus propiedades a partir de triángulos rectángulos. 2.2 Aplica las funciones e identidades trigonométricas para solucionar problemas que dan a lugar a triángulos, en su ámbito académico y o social. 2.3 Utilizar las funciones e identidades trigonométricas para solucionar problemas académico y social.

Sistemas de unidades para medir ángulos Medida de un ángulo. Para medir un ángulo dado, se compara con otro que es la unidad. El número de veces que ese ángulo dado contiene al ángulo unidad indica su medida. La medida de un ángulo puede expresarse en diferentes unidades; los sistemas de unidades de gran relevancia son: el sistema sexagesimal y el sistema cíclico. El sistema sexagesimal consiste dividir una circunferencia en 360 partes iguales llamadas grados; el grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto se divide en 60 partes llamadas segundos. En el sistema cíclico tiene como unidad de medida principal el radian también conocida como unidad cíclica o circular. Y su medida equivale a: s=r, entonces α= s/r = 1 radián. r s α r

Lados de un triángulo rectángulo. ÁNGULO B ÁNGULO C a hipotenusa b Cateto opuesto Cateto adyacente c C a b B A c

Definición de las funciones trigonométricas Para definir las funciones trigonométricas consideramos un ángulo cualquiera de un triángulo rectángulo por ejemplo el A LADO DEFINICIÓN NOTACIÓN Seno de B Cateto opuesto a B Hipotenusa Sen B Coseno de B Cateto adyacente a B Cos B Tangente de B Tan B Cotangente de B Cot B Secante de B Sec B Cosecante de B Csc B C a b B A c

Funciones recíprocas . Sen B = Cat. Opuesto Hipotenusa Cos B= Cat. Adyacente Tan B= Cot B= Sec B= Csc B= c.o. h h c.o. . Sen B csc B = = 1

Funciones trigonométricas de ángulos de cuadrante Del ángulo de 0° consideramos el triángulo rectángulo: El mismo triángulo con el ángulo α = 0° queda , en consecuencia: b= c, a = 0 0° b a De donde: Sen 0° = cot 0° = = ± ∞ Cos 0° = = 1 sec 0° = = 1 Tan 0° = = 0 csc 0° = = ± ∞ b = 0 c α c

Del ángulo de 90° Consideramos el triángulo rectángulo: El mismo triángulo con el ángulo α = 90° queda , en consecuencia: b= a, c = 0 90° b a α De donde: Sen 90° = cot 90° = = 0 Cos 90° = = 0 sec 90° = = ± ∞ Tan 90° = = ± ∞ csc 90° = = 1 = 1 b a c

Del ángulo de 180° Consideramos el triángulo rectángulo: El mismo triángulo con el ángulo α = 180° queda , en consecuencia: b= c, a = 0 Consideramos el triángulo rectángulo: 180° b a α De donde: Sen 180° = cot 180° = = ± ∞ Cos 180° = = -1 sec 180° = = -1 Tan 180° = = 0 csc 180° = = ± ∞ = 0 -c b c

Del ángulo de 270° Consideramos el triángulo rectángulo: El mismo triángulo con el ángulo α = 270° queda , en consecuencia: a= b, c = 0 Consideramos el triángulo rectángulo: 270° α c De donde: Sen 270° = cot 270° = = 0 Cos 270° = = 0 sec 270° = = ± ∞ Tan 270° = = ± ∞ csc 270° = = 1 = -1 b -a a b

Gráfica de la función seno Para bosquejar la gráfica de la función seno podemos tomar valores de ángulos de 30 en 30 grados, calcular los valores correspondientes y construir una tabla como la siguiente. X 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360° senx .5 .86 1 -.5 -.86 --1 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°

Conclusiones Procedimiento de la graficación. Los pares de valores se grafican en las coordenadas cartesianas y se traza la curva, o bien, se traza un círculo trigonométrico, se dibujan radios cada 15 grados y, a partir de la intersección de éstos con la circunferencia, se trazan horizontales como en la gráfica anterior. Los cruces con las rectas verticales trazadas cada 15 grados son puntos de la curva senoide. Conclusiones La curva es indefinida en ambos sentidos en el eje de las “x”. La gráfica se repite cada 360°. La función es positiva en primero y segundo cuadrantes. La función crece en primero y cuarto cuadrantes y decrece en el segundo y tercero.

Gráfica de la función coseno Para graficar la función coseno se realiza el mismo tabular de 30 en 30 grados y se calculan los valores correspondientes. X 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360° cosx .87 .5 -.5 -.87 -1 1 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°

Conclusiones La curva es indefinida en ambos sentidos en el eje de las “x”. La grafica se repite cada 360°. La función es positiva en primero y cuarto cuadrantes. La función decrece en primero y segundo cuadrantes, y crece en el tercero y cuarto.

Función tangente Para graficar esta función se toman valores de 30 en 30 grados y se calculan los valores correspondientes como en la siguiente tabla. X 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360° tanx .57 1.73 indef -1.73 -.57 Conclusiones: 1.- La curva es indefinida cerca de los 90 grados. 2.- se repite cada 180 grados. 3.- Es positiva en primero y tercer cuadrantes y negativa en segundo y cuarto 4.- Pierde su continuidad a los 90°, 270°, 245° etc.

Gráfica de la función tangente 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°

Resolución de triángulos rectángulos La trigonometría tiene como principal objetivo resolver situaciones que pueden ser modeladas por un triángulo. Las situaciones más sencillas de modelar son aquellas que incluyen triángulos rectángulos. Determinar las medidas de sus lados y ángulos se conoce como Resolución del triángulo. Con frecuencia, en la resolución de triángulos debemos considerar ángulos formados por horizontal y la línea de visibilidad de un observador. Cuando la línea de visibilidad esta por encima de la horizontal, se llama ángulo de elevación, y si está por debajo es un ángulo de depresión. Ángulo de depresión Ángulo de elevación

Signos de las funciones trigonométricas Cuadrante Funciones positivas Funciones negativas I Todas Ninguna II Sen, csc Cos, sec, tan, cot III Tan, cot Sen,csc, cos, sec IV Cos, sec Sen, csc, tan, cot

Círculo unitario. Funciones trigonométricas representadas por un segmento El círculo trigonométrico, es el que se traza con un radio igual a 1. por eso también se le llama círculo unitario. y 1 y x x

Solución de triángulo oblicuángulo Ley de senos En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos a él. Se presentan 2 casos: Con 2 ángulos y 1 lado ó Con 2 lados y 1 ángulo. a b c sen A sen B sen C = = b a c A B C

Ley de Cosenos Esta ley nos dice que en todo triángulo, el coseno de un ángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados que lo forman, menos el cuadrado del lado opuesto, dividido entre el doble producto de los lados que forman dicho ángulo. Tenemos 2 casos: Con 3 lados ó con 2 lados y el ángulo que está en medio. b² + c² - a² 2bc a² + c² - b² 2ac a² + b² - c² 2ab cos A = cos B = cos C = b a c A B C