Espacio afín 2º Bachillerato Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM) IES ÉLAIOS. Zaragoza

Coordenadas en el espacio Vector de posición de P Origen de coordenadas (x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia S.

Ejes coordenados. Planos coordenados Los tres vectores de la base B determinan con el origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ. Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia.

Coordenadas de un vector libre cualquiera

Coordenadas del punto medio de un segmento

Elementos geométricos Los objetos o elementos geométricos elementales del espacio tridimensional son los puntos, las rectas, los planos, las curvas y las superficies. Estos elementos geométricos pueden determinarse mediante ecuaciones paramétrica. La dimensión del elemento coincide con el número de parámetros. Rectas y curvas (dimensión 1) Dimensión Planos y superficies (dimensión 2)

Rectas en el espacio: ecuación vectorial

Rectas en el espacio: ecuaciones paramétricas

Rectas en el espacio: ecuación en forma continua Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto P (x0,y0,z0) y tienen por vector director (v1,v2,v3) son: Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de la recta que no dependen de ningún parámetro Las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene por vector director (v1, v2, v3) son:

Rectas en el espacio: ecuación implícita De aquí obtenemos tres ecuaciones: Como la tercera ecuación es combinación lineal de la otras dos, suprimiendo una ellas, la tercera por ejemplo, y operando obtenemos: Este par de ecuaciones es la ecuación de la recta en forma implícita. En general :

Ecuaciones de los ejes coordenados

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos La recta r queda determinada por la siguiente determinación lineal: r(A,  ) o por(B, ) (b1, b2, b3) (a1, a2, a3) Por tanto la ecuación de la recta será: (x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1–a1, b2–a2, b3–a3 )

Planos: ecuación vectorial Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes. Se dice que a (A, v, w ) es una determinación lineal del plano alfa.  X está en a si y solo si AX es combinación lineal de v y w. Por tanto existirán dos números reales s y t tales que: AX = s v + t w  Por tanto x – a = s v + t w  Y de aquí se obtiene la ecuación vectorial del plano: x = a + s v + t w, con s R y t R  Se observa además que X a  rango (AX, v, w) = 2  det (AX, v, w) = 0 

Planos: ecuaciones paramétricas

Vector normal a un plano Como A (x1,y1,z1) p y B (x2,y2,z2) p tenemos que: ax1 + by1 + cz1 + d = 0 ax2 + by2 + cz2 + d = 0 Restando término a término obtenemos: a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0 (a, b, c) . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = 0

Planos: ecuación normal Sea M un punto cualquiera del plano a, y sea (A, B, C) un vector normal al plano. Un punto X(x, y, z) está en el plano si y sólo si ® n es perpendicular a MX . Por tanto: · = 0 Û · ( x – m ) = 0 que es la ecuación normal del plano. Desarrollando la expresión anterior obtenemos: (A, B, C) · (x – x1 , y – y1 , z – z1 ) = 0 A( x – x1 ) + B(y – y1 ) + C(z – z1 ) = 0 o bien A x + B y + C z + D = 0 donde A, B, y C son las componentes del vector normal al plano.

Planos: ecuaciones de los planos coordenados

Ecuación del plano que pasa por tres puntos Sean A, B y C tres puntos no alineados. Por tanto los vectores AB y AC no son paralelos.  La determinación lineal de dicho plano será: (a, b, c) (a", b", c") (a', b', c') X (x, y, z) Como los tres vectores están en el mismo plano, son dependientes y por lo tanto su ecuación se obtendrá desarrollando el siguiente determinante:

Posiciones relativas: recta y plano Sean el plano p: ax + by + cz + d = 0 y la recta r dada como intersección de p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0 . Estudiar las posiciones relativas de recta y plano equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las tres ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 1 2 3 Recta y plano secantes Recta contenida en el plano Recta y plano paralelos Sistema compatible determinado Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema incompatible rango(A) = rango (B) = 3 rango(A) = 2; rango (B) = 2 rango(A) = 2; rango (B) = 3

Posiciones relativas: dos planos Sean dos planos p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 1 2 3 Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema compatible indeterminado de rango 1 Sistema incompatible rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = 1; rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 1

Posiciones relativas: tres planos (I) Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de estos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 1 2a 2b Dos planos paralelos y un tercero secante a ellos Triedro Prisma Los tres planos tienen un punto en común Los tres planos no tienen puntos en común Los tres planos no tienen puntos en común Sistema compatible determinado de rango 3 Sistema incompatible Sistema incompatible rango(A) = rango(B) = 3 rango(A) = 2; rango(B) = 3 rango(A) = 2; rango(B) = 3

Posiciones relativas: tres planos (II) Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 3a 3b 4 Dos planos coincidentes y un tercero secante a ellos Tres planos coincidentes Tres planos distintos Los tres planos tienen una recta en común Los tres planos tienen una recta en común Los tres planos tienen infinitos puntos en común Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema compatible indeterminado de rango 1 Sistema compatible indeterminado de rango 2 rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 1

Posiciones relativas: tres planos (III) Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 5a 5b Dos planos coincidentes y un tercero paralelo a ellos Tres planos paralelos Los tres planos no tienen puntos en común Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible Sistema incompatible rango(A) = 1; rango(B) = 2 rango(A) = 1; rango(B) = 2

Posiciones relativas: dos rectas (I) Sea r dada como intersección de los planos a1x + a2y + a3z + a4 = 0 y b1x + b2y + b3z + b4 = 0. Sea la recta s dada como intersección de c1x + c2y + c3z + c4 = 0 y d1x + d2y + d3z + d4 = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 1 2 Rectas coincidentes Rectas paralelas Las rectas tienen todos sus puntos comunes Las rectas no tienen puntos en común Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema incompatible rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = 2; rango(B) = 3

Posiciones relativas: dos rectas (II) Sea r dada como intersección de los planos a1x + a2y + a3z + a4 = 0 y b1x + b2y + b3z + b4 = 0. Sea la recta s dada como intersección de c1x + c2y + c3z + c4 = 0 y d1x + d2y + d3z + d4 = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 3 4 Rectas secantes Rectas que se cruzan Las rectas no tienen puntos en común Las dos rectas tienen un punto en común Sistema compatible determinado Sistema incompatible rango(A) = rango(B) = 3 rango(A) = 3; rango(B) = 4

Haz de planos paralelos Haces de planos 1 2 Haz de planos paralelos Haz de planos secantes Dados ≡Ax+By+Cz+D=0  ≡ Ax+By+Cz+D  =0 Dado ≡Ax+By+Cz+D=0 Los haces de planos se pueden expresar como Ax+By+Cz+D+ (Ax+By+Cz+D )=0 Para que el haz quede completo hay que añadir: Ax+By+Cz+D  =0 Los haces de planos se pueden expresar como Ax+By+Cz+=0 con  є R.