Series de Fourier "Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones", Genaro González

La primera serie de Fourier de la historia Euler 1744 escribe en una carta a un amigo: ¿Es cierto? Observemos que en t = 0 hay problemas → π/2 = 0 ¡¡ La clave está en el concepto de función periódica.

f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1,  2, 3,... Funciones Periódicas Una función periódica f(t) cumple que para todo valor de t: f(t) = f(t + T). Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función. Observa que: f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1,  2, 3,... Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?

Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función Si f(t) es periódica se debe cumplir: Como cos(t + 2kp) = cos(t) para cualquier entero k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que: T/3 = 2k1p y T/4 = 2k2p. Es decir: T = 6k1p = 8k2p con k1 y k2 enteros. El valor mínimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es decir, T = 24p.

Gráfica de la función T f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) f(t) 24p t 50 100 150 50 100 150 200 -3 -2 -1 1 2 3 f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24p T

f(t) = cos(w1t) + cos(w2t). ¿Es la suma de dos funciones periódicas una función periódica? Depende. Consideremos la función: f(t) = cos(w1t) + cos(w2t). Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que: w1T = 2p m y w2T = 2p n. Es decir, que cumplan: T = m/ (2p w1) = n/ (2p w2)

Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((p+3)t) tenemos que ¿Es periódica? f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t) 2 1 f(t) -1 -2 5 10 15 20 25 30 t

Para que exista periodicidad w1/ w2 debe ser un número racional (n/m). Ejercicios: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son periódicas: f(t) = sen(nt), donde n es un entero. f(t) = sen2(2pt) f(t) = sen(t) + sen(t + p/2) f(t) = sen(w1t) + cos(w2t) f(t) = sen(2 t)

Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2, ¿es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo T < min(T1,T2)? T1 = 5 T2 = 5 T = 2,5

Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos: extendida periódicamente con T = 1: extendida periódicamente con T = 1:

¿Puede una función f(t) cumplir la condición f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo fundamental?

T = ?

Volvamos al resultado de Euler: ¿Cómo lo alcanzó? Utilizando la fórmula de Euler para cada término: Integrando término a término: Particularizamos t para encontrar C:

Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)

(1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2π. (2) La serie es una función impar. No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros. (3) En el intervalo 0 < t < 2π, la serie aproxima a (π-t)/2. Pero no fuera del intervalo... (4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos. (5) La aproximación no es buena en "los extremos"... Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier...

Leonhard Euler 1707-1783 Jean d'Alembert 1717-1783 Daniel Bernouilli 1700-1782 Lagrange

Se necesita también como condición inicial u(0,x)=f(x) para 0<x<1. Euler en 1749 demostró la misma solución. Pero difería con D'Alambert en el posible tipo de f(x) inicial. De hecho, este es el inicio del problema de la "definición" de una función. Para Euler era posible una función en partes: cualquier gráfica era una función. Para D'Alambert necesariamente: expresión analítica compacta.

En realidad la forma de solucionar el problema por parte de Daniel Bernoulli en 1753 fue completamente distinta. Se basó en la superposición de ondas y tomó como solución: un(x,t) = sin(nx) cos(nt) donde para cada t fijo cada sin(nx) se anula en n-1 puntos o nodos. Pero recordemos que u(x,0) = f(x)...

Resolvamos por variables separadas: u(x,t) = X(x) T(t) Por eso Bernouilli optó por tomar f(x) como: con una adecuada elección de los coeficientes an...

Jean Baptiste Joseph Fourier En diciembre de 1807 Joseph Fourier presentó un sorprendente artículo a la Academia de Ciencias en París. En él afirmaba que cualquier función puede escribirse en forma de serie trigonométrica semejante al ejemplo de Euler. Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830 Polémica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) era uno de los muchos que opinaba que algo así era simplemente imposible...

Fourier fue nombrado por Napoleón secretario permanente del Instituto Egipcio. Contrajo una enfermedad de Tiroides (mixedema).

Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la ecuación del calor o de difusión: Describe cómo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio. Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables trasatlánticos, edad de la Tierra,...

Dividiendo entre X(x)T(t): C1=0, C0=C2=1, A=-n2 con n = 1, 2, 3, ...

La combinación lineal de soluciones será también solución: Llegando al mismo resultado que Bernoulli, pero pudiendo calcular los coeficientes an.

Serie trigonométrica de Fourier Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier Donde w0 = 2p/T se denomina frecuencia fundamental.

a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ... b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,...

¿Cómo calcular los coeficientes de la serie? Dada una función periódica f(t), ¿cómo se obtiene su serie de Fourier? Necesitamos calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,... Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.

Ortogonalidad Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:

Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo –1 < t < 1, ya que: Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –p < t <p, ya que ¿Falta algo para demostrar en ambos casos la ortogonalidad?

Ortogonalidad de senos y cosenos Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2< t < T/2: {1, cos(w0t), cos(2w0t), cos(3w0t),..., sen(w0t), sen2w0t, sen3w0t,...} con w0= 2p/T.

Vamos a verificarlo probándolo a pares: 1.- f(t) = 1 vs. cos(mw0t): Ya que m es un entero. w0= 2p/T

3.- cos(mw0t) vs. cos(nw0t): w0= 2p/T 2.- f(t) = 1 vs. sen(mw0t): 3.- cos(mw0t) vs. cos(nw0t): w0= 2p/T cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)] cos2q = ½ (1+cos2q)

4.- sen(mw0t) vs. sen(nw0t): sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen2 A =½ (1-cos2q) 4.- sen(mw0t) vs. sen(nw0t): 5.- sen(mw0t) vs. cos(nw0t): sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]

¿Cómo calcular los coeficientes de la serie? Vamos a aprovechar la ortoganilidad que acabamos de demostrar del conjunto de funciones: {1, cos(w0t), cos(2w0t), cos(3w0t),..., sen(w0t), sen2w0t, sen3w0t,...} con w0= 2p/T, en el intervalo -T/2< t < T/2 , para calcular los coeficientes a0,a1,a2,... , b1,b2,... de la serie de Fourier:

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por cos(mw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos: 0, si m ≠ 0 0, si m ≠ 0 T/2, si m = n

Observa que el caso anterior no incluye a a0, m = 0 que debemos tratar a parte: T, si m = 0 0, si m ≠ 0 T/2, si m = n

Similarmente, multiplicando por sen(mw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos: 0, si m ≠ 0 T/2, si m = n

La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es: Un ejemplo históricamente importante: Encontrar la serie de Fourier para la función de onda cuadrada de periodo T: La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es: f(t) 1 t . . . -T/2 0 T/2 T . . . -1 w0= 2p/T

Coeficiente a0:

Coeficientes an:

Coeficientes bn:

Finalmente, la serie de Fourier queda como En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para w0 = p (w0= 2p/T), es decir, T = 2:

Componentes de la Serie de Fourier -1 -0.5 0.5 1 -1.5 1.5 Componentes de la Serie de Fourier t Componentes Suma fundamental tercer armónico quinto armónico séptimo armónico Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)

de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario, Nota: Para expresarse como serie de Fourier f(t), no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde está definida, como el periodo de la serie. La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo: de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario, con el mismo resultado.

los coeficientes para: f(t) Habíamos calculado los coeficientes para: 1 t . . . -T/2 0 T/2 T . . . -1 Si los calculamos para la misma función desplazada tienen que ser los mismos: f(t) 1 t . . . -T/2 0 T/2 T . . . -1 Repite los cálculos y compruébalo.

para cualquier intervalo de longitud el periodo f(t) De hecho si repetimos para cualquier intervalo de longitud el periodo T de la función, será lo mismo: 1 t -1 . . . t0 t0 +T . . .

Ejercicio: encontrar la serie de Fourier para la función con la que empezamos el tema. O sea, demostrar que Euler tenía razón.

Calcula la serie de Fourier de la función periódica: es la propia función...

Nota: a partir de ahora entenderemos que f(t) está definida sólo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de Fourier la extiende periódicamente, con periodo T igual al intervalo de definición. En muchos libros se habla de extender de forma par o impar una función. La serie de Fourier extenderá periódicamente los patrones siguientes: t Extensión par t Extensión impar

Funciones Pares e Impares Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si f(t) = f(-t)

En forma similar, una función f(t) se dice función impar (o con simetría impar), si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)

Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t + 1/t , g(t) = 1/(t2+1). Solución: Como f(-t) = -t - 1/t = - f(t), por lo tanto f(t) es función impar. Como g(-t) = 1/((-t)2+1) = 1/(t2+1) = g(t), por lo tanto g(t) es función par.

Ejemplo: ¿La función h(t) = f(1+t2) es par o impar Ejemplo: ¿La función h(t) = f(1+t2) es par o impar? (f es una función arbitraria). Solución: Sea g(t) = 1 + t2. Entonces h(t) = f(g(t)). Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)). Pero g(-t) = 1+(-t)2 = 1 + t2 = g(t), finalmente h(-t) = f(g(t)) = h(t), de modo que h(t) es función par, sin importar como sea f(t).

Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las funciones siguientes son pares: h(t) = sen (1+t2) h(t) = exp(1+t2) + 5/ (1+t2) h(t) = cos (2+t2) + 1 h(t) = (10+t2) - (1+t2)1/2 etc... Ya que todas tienen la forma f(1+t2).

Si f (x) es par: -a a

Si f (x) es impar: a -a

Como la función sen(nw0t) es una función impar para todo n y la función cos(nw0t) es una función par para todo n, es de esperar que: Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n. Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n.

Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado: Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno: 1 f(t) t . . . -T/2 0 T/2 T . . . -1

f(x) = |sen(x)|, x є [-π,π], 2π periódica P2. Septiembre 2005 a) Obtener el desarrollo en serie de Fourier de las funciones Respuesta. f(x) = |sen(x)|, x є [-π,π], 2π periódica Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0

f(x) = |cos(x)|, x є [-π,π], 2π periódica Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0

Onda triangular (Triangle Wave)

Right Triangular Wave

Saw Tooth Wave

Ejercicio: demostrar que la serie de Fourier para con periodo T = 2π (frecuencia fundamental 0 = 1) y  un número real no entero, es:

Observa que si tomamos t = 0 entonces: y con  = 1/2.

O que si tomamos t = π entonces: ¿Es correcto el resultado?

Convergencia uniforme Que la integral traspase los sumatorios en la deducción de las fórmulas para los coeficientes de la serie de Fourier, equivale a asumir que la serie converge uniformemente... Recordemos qué es convergencia uniforme. Sea la serie infinita: y definamos sus sumas parciales como:

Diremos que S converge a f(x) en un intervalo si  > 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.: Observemos que en general N dependerá de  y del punto x (convergencia puntual). Si N solo depende de , pero no de x, decimos que la convergencia es uniforme. Que la serie sea uniformemente convergente es "bueno" porque:

(1) Si cada término un(x) de una serie es continuo en (a, b) y la serie es uniformemente convergente a f(x), entonces: (a) f(x) es también continua en (a, b). (b) (2) Si cada término un(x) de una serie posee derivada en (a, b) y la serie derivada es uniformemente convergente, entonces:

¿Cómo probar la convergencia uniforme de una serie? (1) Encontrar una expresión "cerrada" para Sk(x) y aplicar la definición o (2) utilizar la prueba M de Weierstrass: Si existe {Mn}n = 1, 2,... tq. |un(x)|  Mn y además

Ejemplo:

Condiciones de Dirichlet Condiciones de convergencia de la serie de Fourier de f(x), suficientes pero no necesarias. (1) f(x) tiene un número finito de discontinuidades en un periodo. (2) f(x) tiene un número finito de máximos y mínimos (3)

Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces la serie de Fourier converge a f(x) si x es un punto de continuidad y a: si x es un punto de discontinuidad.

Desarrolla en serie de Fourier:

La función f es continua en (−, ) excepto en x = 0. Así su serie de Fourier converge en x = 0 a: La serie es una extensión periódica de la función f. Las discontinuidades en x = 0, 2, 4, … convergen a:

Secuencia de sumas parciales y su representación gráfica

Ejercicio de examen: Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función de modo que converja uniformemente a f(t) en [0,1]. Respuesta. Para que el desarrollo de Fourier se pueda definir debe ser 2L-periódica. Para que converja uniformemente, se debe extender f(t) a de modo que: 1. sea continua en [-L,L]. 2. sea continua a trozos en [-L,L].

La continuidad se consigue con la extensión par de f (f´ = -2t es continua en [-L,L] ) con L = 1. Im (z)‏ -1 1 Re (z)‏

P2. Septiembre 2006 (4 puntos) Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función f(x) = x2 -π ≤ x ≤ π, con f(x) = f(x + 2π) Estudiar si el desarrollo obtenido converge uniformemente a f(x) en [-π,π] Basándose en los resultados obtenidos, calcular la suma de la serie numérica A partir del desarrollo de Fourier de la función f(x), obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función g(x) = x(x2 – π2) -π ≤ x ≤ π, con g(x) = g(x + 2π)

Respuesta. f(x) = x2, x є [-π,π], 2π periódica Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0:

2. 3. Por convergencia uniforme, se aplica la identidad de Parseval:

4.

Fenómeno de Gibbs Si la serie de Fourier para una función f(t) se trunca para lograr una aproximación en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos más armónicos, el sumatorio se aproximará más a f(t). Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armónicos. Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u onda cuadrada:

Fenómeno de Gibbs

Fenómeno de Gibbs

Outline: Central Scientific Problem – Artificial Intelligence Machine Learning: Definition Specifics Requirements Existing Solutions and their limitations Multiresolution Approximation: Limitation Our Approach. Results. Binarization. Plans.

Forma compleja de la serie de Fourier Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t), con periodo T = 2p/w0. Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:

Sustituyendo: Y usando el hecho de que 1/i = -i: Y definiendo:

A la expresión obtenida se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien: Para n = 0, 1, 2, 3, ... Demostrarlo. ¿Forma un conjunto ortogonal?

Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada: Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn), que eran an= 0 para todo n y 1 f(t) t . . . -T/2 0 T/2 T . . . -1

Podemos calcular los coeficientes cn: Entonces la serie compleja de Fourier queda:

Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral:

Como w0T = 2p y además: que coincide con el resultado ya obtenido.

Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:

n impar n impar -ip0x n impar n impar

La función impulso o delta de Dirac d(t) Se trata de una "función generalizada". Podemos pensar en la delta de Dirac como el límite de una serie de funciones: d(t) f3(t) f2(t) f1(t) t

Propiedades de la función d t d(t) Propiedades de la función d

Calcular la serie de Fourier de d(x):

Los coeficientes cn son números complejos, y también se pueden escribir en forma polar: Observemos que, Donde , para todo n  0. Y para n = 0, c0 es un número real:

Espectros de frecuencia discreta Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes cn. Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo.

Espectros de frecuencia discreta Ejemplo. Para la función ya analizada: Encontramos que: Por lo tanto: 1 f(t) t . . . -T/2 0 T/2 T . . . -1

A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular w de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t). A la gráfica del ángulo de fase fn de los coeficientes cn contra w, se le llama el espectro de fase de f(t). Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia angular w = nw0 es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas.

El espectro de amplitud se muestra a continuación Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n = número de armónico = múltiplo de w0). -30 -20 -10 10 20 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Espectro de Amplitud de f(t) n Cn  Frecuencia negativa (?) Frecuencia

El espectro de magnitud de una f(t) real, es una función PAR por lo que la gráfica para n  0 contiene toda la información acerca de f(t) y se le conoce como espectro unilateral de magnitud. El espectro de fase de una f(t) real, es una función IMPAR por lo que la gráfica para n  0 contiene toda la información acerca de f(t) y se le conoce como espectro unilateral de fase.

Podemos expresar de una manera ligeramente diferente la serie de Fourier. Cada par de términos: ancos(nw0t) + bnsen(nw0t) se pueden expresar como: Donde lo único que hemos hecho es multiplicar y dividir por:

Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en función del coseno: bn qn an Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en función del coseno:

Si además definimos C0 = a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como: Con: Ejercicio: Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y qn, de manera que la serie de Fourier pueda escribirse como:

Componentes y armónicos Hemos visto que, bajo ciertas condiciones, una función f(t) puede escribirse como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias: wn = nw0. A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: cn cos(nw0t + qn) se le llama el enésimo armónico de f(t). Al primer armónico (n = 1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t). A la frecuencia w0= 2p f0 = 2p / T se le llama frecuencia angular fundamental.

Su componente fundamental (n = 1) será: Ejemplo: La función Como vimos, tiene un periodo T = 24p, por lo tanto su frecuencia fundamental es w0 = 2p/T = 1/12 rad/s. O como w0= 2pf0, f0 = 1/T = 1/ 24p Hz. Su componente fundamental (n = 1) será: c0 cos(w0t + q0) = 0 cos(t/12). Tercer armónico: cos(3t/12) = cos(t/4) Cuarto armónico: cos(4t/12) = cos(t/3) 50 100 150 200 -3 -2 -1 1 2 3 f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24p

Ejercicio: f(t) f ''(t) 5 10 -5 -10 20 T0 = 10 t f(t) = 4t - 20 5 10 -4 5 10 -5 -10 8 T0 = 10 f ''(t) t -8

Potencia y Teorema de Parseval El promedio o valor medio de una señal cualquiera f(t) en un periodo dado T se puede calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la curva de f(t) f(t) 1 T Area = T h h = Altura promedio t

De acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t) representa una señal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por: Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y el promedio en un periodo será el promedio en cualquier otro periodo.

El teorema de Parseval nos permite calcular la integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes complejos cn de Fourier de la función periódica f(t): O bien, en términos de los coeficientes an, bn:

Teorema o identidad de Parseval

Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de la función f(t): Solución. Del teorema de Parseval y del ejemplo anterior sustituyendo 1 f(t) t . . . -T/2 0 T/2 T . . . -1

La serie numérica obtenida converge a Por lo tanto, Como era de esperar.

Calcúlese la serie de Fourier de f. Sean , con y la función: Calcúlese la serie de Fourier de f. Obténgase la identidad de Parseval en este caso y a partir de ella calcule el valor de la serie: ¿Converge la serie de Fourier de f puntualmente a f(0) en x=0? π -π c1 c2

1.

2. 3. f es continua a trozos y tiene derivadas laterales

A partir de la serie de Fourier de la función definida en el intervalo : determinar los valores de las series: 2. 1.

2.