Los problemas semánticos de las expresiones del Lenguaje Proposicional Las tablas de verdad Y Las propiedades veritativas de las expresiones del Lenguaje Proposicional

La tablas de verdad Noción sintáctica Condiciones semánticas - Una vez que hemos definido qué expresiones son correctas en L.P. y cuáles no lo son, por el significado de estas expresiones se plantea un nuevo problema: ¿En qué condiciones una expresión correcta de L.P. es verdadera y en qué condiciones es falsa? expresiones son correctas qué condiciones una expresión correcta de L.P. es verdadera Para responder a este problema disponemos de medios gráficos que se llaman TABLAS DE VERDAD: cada expresión elemental tiene una tabla de verdad y mediante éstas podemos construir las tablas de verdad de todas las demás expresiones. TABLAS DE VERDAD Noción sintáctica Condiciones semánticas

Expresiones primitivas del lenguaje proposicional. pq pq pq No es una expresión primitiva pq (pq)  (qp) Significa

Las tablas de verdad de las expresiones primitivas. q pq p q pq V V V V V V V V F F V F V F F V F V V F V F F F F F F F p q pq p p V V V Número de líneas de una tabla: 2n donde n es el número de variables proposicionales. V F V F F F V F V V F F V

Tablas de verdad de cualquier expresión del lenguaje proposicional (pq)  (qp) Sea la función veritativa siguiente pq Tabla de verdad p q pq qp (pq)  (qp) pq V V V V V V V F F V F F V F F F V F V V F F V V

Tabla de verdad de una expresión compleja. pqrp  p1  q1 Sea la función veritativa siguiente p q r p1 q1 q r pq rp pq  rp p1  q1 V F F V V V V V V V V V Líneas de la tabla: 25=32

Propiedades veritativas de las expresiones del Lenguaje Proposicional Las expresiones del Lenguaje Leopardo pueden ser TAUTOLÓGICAS, CONTRADICTORIAS Y CONSISTENTES TAUTOLÓGICAS CONTRADICTORIAS CONSISTENTES Expresiones que son siempre VERDADERAS con independencia de las asignaciones de valores de verdad a sus variables proposicionales VERDADERAS Expresiones que son siempre FALSAS con independencia de las asignaciones de valores de verdad a sus variables proposicionales FALSAS Expresiones que son VERDADERAS O FALSAS dependiendo de las asignaciones de valores de verdad a sus variables proposicionales VERDADERAS O FALSAS

Ejemplo de una expresión en Castellano Tautológica Sea la expresión p(qr)pqr Para determinar por los árboles semánticos si es tautológica negamos la expresión y en todas las ramas del árbol deben aparecer variables proposicionales afirmadas y negadas tautológica negamos todas las ramas del árbol

 [p(qr)pqr] p(qr)pqr p(qr) [p(qr)] Negamos la expresión R.N.B. [pqr] pqr pq p R.N.C. R.N.C. r (qr) p qr R.C. q R.N.C. r p q R.C. R.C. r r # q R.R. (pq) r R.C. R.C. # p q # # R.N.C # p # q R.R R.R #

Procedimiento para determinar si una expresión es consistente. Para determinar por los árboles semánticos si es consistente negamos la expresión y en algunas de las ramas del árbol no deben aparecer variables proposicionales afirmadas y negadas: no hay contradicción consistente algunas de las ramas del árbol no no no no no no hay contradicción

Ejemplo de una expresión en Castellano Consistente {p [ q1 (  r  q  p1  r)]} p [ q1 (  r  q  p1  r)] Negamos la expresión p [q1 (  r  q  p1  r)] R.N.C. q1 ( r  q  p1  r) R.N.C.  r  q  p1 R.N.C. r r R.D. ?

Procedimiento para determinar si una expresión es contradictoria. Para determinar por los árboles semánticos si es contradictoria la expresión, en todas las ramas del árbol deben aparecer variables proposicionales afirmadas y negadas. contradictoria en todas las ramas

Ejemplo de una expresión en Castellano Contradictoria (p  q )( p   q) p  q  p   q R.C. p q R.C.  p  q R.D. p q R.R. R.R. # #

Relaciones lógicas: la implicación y equivalencia Definición de implicación: una expresión correcta en L.P. implica a otra expresión correcta en L.P. (en símbolos “”) si y solo si el condicional, cuyo antecedente lo constituye la primera expresión y el consiguiente la segunda expresión, es tautológico.  el condicional tautológico Definición de equivalencia: una expresión correcta en leopardo es equivalente a otra expresión correcta en leopardo (en símbolos “”)si y solo si el bicondicional, cuyos miembros están constituidos por ambas expresiones, es tautológico.  bicondicional tautológico

El problema de la implicación entre expresiones. Sean las expresiones en Castellano siguientes: S1 Solo cuando los números son reales estos son pares o impares S2 Admitimos la siguiente alternativa: o bien los números son reales en el caso de que sean pares o bien cuando son impares son reales. Deseamos saber si S1 S2 El paso primero es proceder a las simbolizaciones de las expresiones propuestas en el Lenguaje Leopardo.

Simbolización en Lenguaje Leopardo de S1. Formalización Análisis Elementos lógicos. Solo cuando los números son reales estos son pares o impares Solo cuando los números son reales estos son pares o impares o   Consiguiente Antecedente p  los números son pares S1  pqr Proposiciones q  los números son impares r  los números son reales

Simbolización en Lenguaje Leopardo de S2. Formalización Análisis Elementos lógicos. Admitimos la siguiente alternativa: o bien los números son reales en el caso de que sean pares o bien cuando son impares son reales. o bien en el caso de que o bien cuando    S2 (pr) ( q r) Antecedentes Consecuentes Los mismos valores que para S1 Proposiciones

Determinar si S1 implica a S2 mediante los árboles semánticos Expresión implicante pqr [(pr) ( q r)] Negación de la expresión implicada (pr) ( q r) La primera expresión implica a la segunda, en símbolos R.N.D p r R.N.C q (pqr) ((pr) ( q r)) r R.N.C (pq) p r R.C q R.N.D # q # R.R

Determinar la validez de los razonamientos en el Nivel Proposicional por los árboles semánticos Un razonamiento en el nivel de lógica proposicional es válido si y solo si de las premisas y de la negación de la conclusión resulta una contradicción. premisas negación de la conclusión contradicción Se afirman las premisas y se niega la conclusión y deben aparecer contradicciones en todas las ramas del árbol que se genere con las reglas de derivación.

Ejemplo de validación de un razonamiento en Lógica Proposicional Tercera premisa Premisa primera y forma lógica Premisa segunda Identificación de las premisa y la conclusión: búsqueda de las conexiones de justificación o de consecuencia. Conclusión Conexión de consecuencia Paso primero: reducción a la forma lógica del razonamiento Si digo siempre la verdad los demás confían en mí; si los demás confían en mí, me siento seguro e independiente. Cuando me siento seguro e independiente, soy capaz de afrontar cualquier problema. En consecuencia como yo digo siempre la verdad soy capaz de afrontar cualquier problema. Si Si digo siempre la verdad los demás confían en mí si los si demás confían en mí me siento seguro e independiente Cuando Cuando me siento seguro e independiente, soy capaz de afrontar cualquier problema. En consecuencia como yo digo como siempre la verdad soy capaz de afrontar cualquier problema. Proposiciones: Forma lógica del razonamiento p digo siempre la verdad Premisa nº1: p q q  los demás confían en mí Premisa nº2: q  r r me siento seguro e independiente Premisa nº3: r  p1 p1 soy capaz de afrontar cualquier problema  p p1

Determinar la validez del razonamiento mediante los árboles lógicos p q Premisa 1 Determinar la validez del razonamiento mediante los árboles lógicos q  r Premisa 2 r  p1 Premisa 3 (p p1) Negación de la conclusión El razonamiento es válido, pues lleva a una contradicción cuando afirmamos las premisas y negamos la conclusión p  p1 R.N.C. p q R.C. R.R. p q r R.C. #  r p1 # R.C.  p1 # R.R. #

Nuevo ejemplo de validación de un razonamiento en Lógica Proposicional Premisa primera Conclusión Conexión de consecuencia Conexión de fundamentación. Identificación de las premisa y la conclusión: búsqueda de las conexiones de justificación o de consecuencia. Premisa segunda Premisa tercera Paso primero: reducción a la forma lógica del razonamiento La humanidad deberá progresar realizando sus ideales cuando las preferencias humanas se centren fundamentalmente en los bienes abstractos o los seres humanos aspiren a una vida digna, pero para que la humanidad deba progresar en la realización de sus ideales es necesario y suficiente tener una imagen adecuada de sí misma en las situaciones conflictivas; por eso sostenemos que la humanidad tiene una imagen adecuada de sí misma en las situaciones conflictivas y los seres humanos aspiran a una vida digna, porque las preferencias humanas se centran fundamentalmente en los bienes abstractos. La humanidad deberá progresar realizando sus ideales cuando las preferencias humanas se centren fundamentalmente en los bienes pero abstractos o los seres humanos aspiren a una vida digna para que la humanidad deba progresar en la realización de sus ideales es necesario y es necesario y suficiente tener una imagen adecuada de sí misma en las situaciones suficiente conflictivas sostenemos que la humanidad tiene una imagen por eso adecuada de sí misma en las situaciones conflictivas y los seres humanos y y y aspiran a una vida digna porque las preferencias humanas se centran fundamentalmente en los bienes abstractos Forma lógica Premisa nº1: p q  r cuando Premisa nº2: r p1 Premisa nº3: p o p1q

Determinar la validez del razonamiento mediante los árboles lógicos p q  r Premisa 1 Determinar la validez del razonamiento mediante los árboles lógicos r p1 Premisa 2 p Premisa 3 (p1q) Negación de la conclusión p1 R.C. q R.N.C. (p q) r (p q) r R.C. p El razonamiento no es válido, pues no hay contradicción cuando afirmamos las premisas y negamos la conclusión. r p r q q p1 p1 R.N.D. R.N.D. R.N.B. r r p # R.R. # p1 p1 R.B. # ?