MATEMATICA II Planos en el espacio 3

¿Cómo se puede determinar de manera única un plano en el espacio?

Tres puntos no alineados P, Q, R Eje X Eje Y Eje Z Q P R

Un punto P y direcciones no paralelas u, v Eje X Eje Y Eje Z u P v

Un punto P y un vector ortogonal  Eje X Eje Y Eje Z  P

¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto P para estar en el plano  que pasa por P0 y es ortogonal a ?

P(x,y,z)     P-Po si y sólo si P (x,y,z)  P0 P-Po Eje Z Eje Y Eje X Eje Y Eje Z P0 P (x,y,z)  P-Po si y sólo si P(x,y,z)     P-Po

Ecuación normal del plano  Ecuación del plano  que pasa por P0(xo,yo,zo) y es ortogonal a =(a,b,c) El punto P(x,y,z)  si y sólo si   P-Po, es decir si .(P-Po)=0  (a,b,c).(x-xo, y-yo, z-zo)=0. a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0  ax+by+cz=axo+byo+czo Si d= axo+byo+czo Ecuación normal del plano  ax+by+cz=d

¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto P para estar en el plano  determinado por las direcciones no paralelas u, v y el punto P0?

Po P Eje X Eje Y Eje Z u tu+sv tu PoP v sv O

Ecuaciones paramétricas del plano  Ecuación del plano  que pasa por P0(xo,yo,zo) con vectores directores u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) P(x,y,z)  si y sólo si (x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(u1,u2,u3)+s(v1,v2,v3)  Ecuaciones paramétricas del plano 

¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto para estar en el plano  que pasa por los puntos no alineados P,Q, R?

Pasa por P con normal =(Q-P)x(R-P) Pasa por P con vectores directores u=(Q-P) y v=(R-P)

ax+by+cz=d Ecuación normal Ecuación del plano  que pasa por los tres puntos no alineados P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3) ax+by+cz=d Ecuación normal (a,b,c)=

Ecuaciones paramétricas Ecuación del plano  que pasa por los tres puntos no alineados P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3) Ecuaciones paramétricas

Ejercicio Nº1 Encuentre el plano que pasa por los puntos P(2,0,1), Q(1,2,0), R(-3,2,1) de tres maneras distintas

Ejercicio Nº2 Encuentre el plano que pasa por el punto P(-2,3,4) y es perpendicular a la recta que pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)

Ejercicio Nº3 y : 3x-2y+6z=-5 Sea L: Hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano , que pasa por el origen. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L y pasa por el origen.

Ejercicio Nº4 y : x-y+z=1 Sea L: Hallar la distancia de la recta L al plano .

PQ=(-1,2,-1) y PR=(-5,2,0) =(2,5,8) 2x+5y+8z= 2.2+5.0+8.1 2x+5y+8z=12 Solución Nº1: PQ=(-1,2,-1) y PR=(-5,2,0) =(2,5,8) 2x+5y+8z= 2.2+5.0+8.1 2x+5y+8z=12

Ecuaciones paramétricas Solución Nº1: Vectores directores del plano: u=(-1,2,-1) y v=(-5,2,0) Ecuaciones paramétricas

Pasar de las ecuaciones paramétricas a la ecuación normal

Solución Nº1: Un punto (x,y,z) en el plano debe satisfacer la ecuación: ax+by+cz-d=0 Como (2,0,1), (1,2,0) y (-3,2,1) están en el plano, se debe cumplir: Sistema homogéneo en la variables a,b,c,d que debe tener infinitas soluciones.

Por lo tanto, el determinante de la matriz del sistema debe ser nulo 2x+5y+8z-12=0

Ecuación del plano: 4x-4y+z+16=0 Solución Nº2: El vector director de la recta es el vector normal al plano. Como la recta pasa por (4,-2,5) y (0,2,4) Su vector director es: (4,-4,1) =(4,-4,1) 4(x+2)-4(y-3)+(z-4)=0 Ecuación del plano: 4x-4y+z+16=0

Solución Nº3: El vector director de la recta debe ser paralelo al vector normal al plano, por lo tanto =(3,-2,6). Como además debe pasar por el (0,0,0), la ecuación de la recta buscada es:

Solución Nº3: Ecuación normal: 2x-4y-z=0 Para encontrar el vector normal al plano tomamos primero dos vectores en el plano y como el (0,0,0) queremos que esté en el plano, esto equivale a tomar dos puntos cualesquiera sobre la recta, por ejemplo, para valores de t=0, 1 obtenemos u=(3,1,2) y v =(1,-1,6) u v =(8,-16,-4) Ecuación normal: 2x-4y-z=0

Solución Nº3: Otra forma es tomar u=(3,1,2) y v =(1,-1,6) como los vectores directores del plano y hallar las ecuaciones paramétricas u v Ecuación paramétricas del Plano

Solución Nº4: Vector director de la recta u=(1,2,1) Vector normal del plano =(1,-1,1) (1,2,1).(1,-1,1)=0  u    L y  son paralelos Sustituimos las ecuaciones de L en la del plano y obtenemos:  d ¿(1+t)-(2+2t)+(3+t)=1? 21 La recta y el plano no se cortan

Solución Nº4: Un punto de la recta Q=(1,2,3) Un punto del plano P=(1,1,1) PQ=(1,2,3)-(1,1,1)=(0,1,2)  Q  d P

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PLANOS Paralelos: Sus vectores normales son paralelos Ortogonales: Sus vectores normales son ortogonales

La intersección de dos planos puede ser: Un plano Son paralelos Una recta: Son secantes El conjunto vacío

La intersección de un plano y una recta puede ser: La recta está incluida en el plano Un punto: Son secantes El conjunto vacío El vector director de la recta es ortogonal al normal del plano

ANGULOS ENTRE PLANOS Y RECTAS El ángulo entre dos rectas es el formado por sus vectores directores El ángulo entre dos planos es el formado entre sus vectores normales El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del formado entre el vector director de la recta y el vector normal al plano