MATEMATICA FINANCIERA Profesor: Eco. Ricardo Bermejo

INTERES COMPUESTO El concepto y la formula general del interés compuesto es una potente herramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero. El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital.

INTERES COMPUESTO 0 1 2 3 n años C0 P1= C0 + I0 P2= C1+ I1 P3= C2+I2 Pn = Cn-1 +In-1 0 1 2 3 n años En el interés compuesto, el interés (I ) ganado en cada periodo (n) es agregado al capital inicial (C0) para constituirse en un nuevo capital (Pn) sobre el cual se calcula un nuevo interés produciéndose lo que se conoce como capitalización la cual puede ser anual, trimestral, mensual, diaria y se aplica hasta que vence la transacción.

Donde : P = Monto total o capital final C = Capital inicial i = Tasa de interés n = Periodo de tiempo En los problemas de interés compuesto i y n deben expresarse en la misma unidad de tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes periodos de tiempo. P = C (1+i) n

Ejemplo: 1.-Usted ha depositado S/. 1,500 en una cuenta de ahorros de un banco local que le ofrece una tasa efectiva anual de 6 %. ¿Qué monto tendrá acumulado al final de tres años?. Solución: Datos: C = 1,500 i = 0.06 anual n = 3 años P =   

P = C (1+i)n Solución: P = 1,500 (1+0.06) 3 P = 1,500 (1.191016) Luego de tres años se tendrá acumulados S/. 1,786.52

2. -Cacular el monto total que produjo un capital inicial de S/ 2.-Cacular el monto total que produjo un capital inicial de S/. 10,000 colocado en un banco durante 5 meses a una tasa efectiva anual de 18 %. Solución: Datos: C = 10,000 i = 0.18 anual n = 5 meses P =   

Solución: Primero debemos expresar i y n en los mismos términos . n = 5 meses 1 año = 0.416667 años 12 meses P = C ( 1 + i ) n P = 10,000 ( 1 + 0.18 ) 0.416667 P = 10,000 (1.071399) P = 10,713.99  

3. - Calcular el monto que produjo un capital inicial de S/ 3.- Calcular el monto que produjo un capital inicial de S/. 5,000 colocado en un banco durante 90 días a una tasa efectiva anual de 8%. Solución: Datos: C = 5,000 i = 0.08 anual n = 90 días P =   

Solución: Primero debemos expresar i y n en los mismos términos . n = 90 días 1 año = 0.25 años 360 días P = C ( 1 + i ) n P = 5,000 ( 1 + 0.08 ) 0.25 P = 5,000 (1.019427) P = 5,097.14

4. - Calcular el monto que produjo un capital inicial de S/ 4.- Calcular el monto que produjo un capital inicial de S/. 10,000 colocado en un banco durante 45 días a una tasa efectiva mensual de 2%. Solución: Datos: C = 10,000 i = 0.02 mensual n = 45 días P =   

Solución: Primero debemos expresar i y n en los mismos términos . n = 45 días 1 mes = 1.50 mensual 30 días P = C ( 1 + i ) n P = 10,000 ( 1 + 0.02 ) 1.50 P = 10,000 (1.030150) P = 10,301.15

5. - Que monto total produjo un capital de S/ 5.- Que monto total produjo un capital de S/. 20,000 colocado durante 6 días a una tasa efectiva mensual de 2.5%. Solución: Datos: C = 20,000 i = 0.025 mensual n = 6 días P =   

Solución: Primero debemos expresar i y n en los mismo términos . n = 6 días 1 mes = 0.20 mes 30 días P = C ( 1 + i ) n P = 20,000 ( 1 + 0.025 ) 0.20 P = 20,000 (1.004951) P = 20,099.02

CAPITALIZACION PERIODO EQUIV. ANUAL Anual 1 Semestral 2 Cuatrimestral 3 Trimestral 4 Bimestral 6 Mensual 12 Quincenal 24 Semanal 48 Diario 360

FACTORES FINANCIEROS En las matemáticas financieras es posible manejar cualquier operación y evaluar diversas alternativas de inversión con los factores financieros. Tanto los pagos como los ingresos efectuados en la empresa son fundamentales para el fortalecimiento de la institución ,razón por la cual deben ser evaluados con el objeto de determinar el impacto que producen en el entorno empresarial. Son factores financieros: Factor simple de capitalización (FSC), Factor simple de actualización (FSA), Factor de capitalización de la serie (FCS) y el Factor de recuperación de capital (FRC).

FACTOR SIMPLE DE CAPITALIZACION (FSC) Transforma un capital inicial en valor futuro (Vf) con la formula general de interés compuesto. VALOR FUTURO (Vf) El analista de cuentas de un banco de inversión necesita evaluar el costo financiero de los títulos que vende a sus inversionistas. Un gerente financiero para evaluar proyectos debe determinar el costo financiero de las operaciones que realiza. Una persona que desee administrar sus cuentas bancarias personales, sus créditos, etc, debe conocer el costo del dinero.

Por lo tanto, el valor futuro es la cantidad de dinero que se tendría, si se invirtiese hoy una cantidad y se capitalizase a un tipo de interés en un periodo determinado de tiempo. Formula: P = C (1+i) n P = Valor futuro (Vf) o capital final C = Capital inicial i = Tasa de interés n = Periodo de tiempo

Ejemplo: 1.-Una persona deposita en una cuenta de ahorros S/. 3,000 al 9% nominal anual capitalizado semestralmente durante dos años . Deseamos saber cuanto tendremos ahorrado al final de dicho periodo de tiempo. Solución: Datos: C = 3,000 i = 0.09 anual n = 2 años P = 

Capitalización semestral 1 año = 2 semestres Llevando i y n a capitalización semestral Sí i=0.09 anual Entonces el i semestral es 0.09 /2 Luego debemos llevar el n a semestral: Si n=2 años Entonces el n semestral es 2 x 2  

Reemplazando los datos en la formula: P = C ( 1 + i ) n P = 3,000 ( 1 + 0.09 ) 2 x 2 2 P = 3,000 ( 1 + 0.045 ) 4 P = 3,000 (1.192519) P = 3,577.56 Al final del periodo el ahorrista recibirá S/. 3,577.56  

Ejemplo: 2.-Usted ha depositado S/. 2,000 en la cuenta de ahorros de un banco a una tasa de interés de 12 % nominal anual capitalizado trimestralmente. ¿Cuanto retirara al cabo de tres años? Solución: Datos: C = 2,000 i = 0.12 anual n = 3 años P =   

Capitalización trimestral 1 año = 4 trimestres Llevando i y n a capitalización trimestral. Sí i= 0.12 anual Entonces el i trimestral es 0.12 /4 Luego debemos llevar el n a trimestral: Si n=3 años Entonces el n trimestral es 3 x 4

Reemplazando los datos en la formula: P = C ( 1 + i ) n P = 2,000 ( 1 + 0.12 ) 3 x 4 4 P = 2,000 ( 1 + 0.03 ) 12 P = 2,000 (1.425761) P = 2,851.52 Al cabo de tres años el ahorrista retirara S/. 2,851.52  

Ejemplo: 3.-Usted ha depositado cinco mil dólares en una cuenta de ahorros a largo plazo al 6% nominal anual capitalizado mensualmente en seis años y tres meses. Halle el monto obtenido al final de dicho periodo de tiempo. Solución: Datos: C = 5,000 i = 0.06 anual n = 6 años y 3 meses P =   

Debemos expresar i y n en los mismos términos . Hallando n: 6 años y 3 meses n = 3 meses 1 año = 0.25 años 12 meses n = 6 + 0.25 n = 6.25 años

Capitalización mensual: 1 año = 12 meses Llevando i y n a capitalización mensual. Sí i= 0.06 anual Entonces el i mensual es 0.06 /12 Luego debemos llevar el n a mensual: Si n=6.25 años Entonces n mensual es 6.25 x 12

Reemplazando los datos en la formula: P = C ( 1 + i ) n P = 5,000 ( 1 + 0.06 ) 6.25 x 12 12 P = 5,000 ( 1 + 0.005 ) 75 P = 5,000 (1.453633) P = 7,268.17 El monto obtenido al final del periodo de tiempo es U$$ 7,268.17  

FACTOR SIMPLE DE ACTUALIZACION (FSA) Al tener el flujo de efectivo que se recibirá al final del periodo el valor actual se obtiene despejando P. VALOR ACTUAL (C) El valor actual es exactamente lo opuesto al proceso de valor futuro. Formula: Donde : C = Valor actual (Va) C = P P = Capital final o valor futuro ( 1 + i )n i = Tasa de interés n = Periodo de tiempo

Ejemplo: 1.-Un alumno desea seguir una especialización en finanzas después de terminar su carrera de tres años. Si su especialización le cuesta S/.7 000,monto que tendrá que desembolsar cuando empiece sus estudios. ¿Cuanto tendría que depositar en una cuenta que le paga 6% anual para contar exactamente con la suma necesitada al iniciar su especialización.? Datos: C = ? P = 7,000 i = 0.06 anual n = 3 años  

Solución: C = 7,000 (1+0.06)3 1.191016 C = 5,877.33 Para obtener los S/.7,000 necesitara depositar en el banco S/. 5,877.33

Ejemplo: 2.-¿Cuál es el valor actual de S/. 5,000 depositados en una cuenta de ahorros del Banco durante 5 años, a la tasa de 6% nominal anual capitalizado trimestralmente. Solución: Datos: C = ? P = 5,000 i = 0.06 anual n = 5 años

Capitalización trimestral: 1 año = 4 trimestres Llevando i y n a capitalización trimestral. Sí i= 0.06 anual Entonces el i trimestral es 0.06 /4 Luego debemos llevar el n a trimestral: Si n=5 años Entonces n trimestral es 5 x 4

4 Reemplazando los datos en la formula: C = 5,000 ( 1 + 0.06 ) 5 x 4 ( 1 + 0.015 ) 20 C = 5,000 1.346856 C = 3,712.35 El valor actual será S/.3,712.35

Ejemplo: 3.-¿Cuál es el valor actual de un pagare de S/. 60,000 pagadero en dos años y ocho meses a la tasa de 8 % nominal anual capitalizado semestralmente?. Solución: Datos: C = ? P = 60,000 i = 0.08anual n = 2 años y 8 meses

Debemos expresar i y n en los mismos términos . Hallando n: 2 años y 8 meses n = 8 meses 1 año = 0.666667 años 12 meses n = 2 + 0.666667 n = 2.666667 años

Capitalización semestral: 1 año = 2 semestres Llevando i y n a capitalización semestral. Sí i= 0.08 anual Entonces el i semestral es 0.08 /2 Luego debemos llevar el n a semestral: Si n=2.666667 años Entonces n semestral es 2.666667 x 2

Reemplazando los datos en la formula: C = 60,000 ( 1+0.08 ) 2.666667 x 2 2 C = 60,000 ( 1+0.04 ) 5.333334 1.232663 C = 48,675.10 El valor actual será S/.48,675.10