PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS MÉTODO DE IMÁGENES A. J. Barbero Departamento de Física Aplicada UCLM Ultima actualización: 25/03/2014

MÉTODO DE IMÁGENES PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS FUNDAMENTO Ecuación de Poisson La solución de la ecuación de Poisson que satisface cierto conjunto de condiciones de contorno es única (teorema de unicidad). Es decir, si encontramos una solución para un problema electrostático que obedece determinadas condiciones de contorno, resulta que esa solución es la única solución posible. No importa el método utilizado para conseguirla, cualquier otro método aplicado correctamente debe conducir a la misma solución. El método de imágenes consiste en sustituir determinados elementos de un sistema electrostático por una o varias cargas puntuales, obteniendo un sistema más sencillo en el que la solución para el potencial puede obtenerse de manera más simple que en el sistema original.

PROBLEMA 1. Una carga +Q está situada en la posición (0,0,z0) PROBLEMA 1. Una carga +Q está situada en la posición (0,0,z0). El plano XY es un plano conductor indefinido conectado a tierra (potencial nulo). Calcular el potencial en cualquier punto de la región z > 0 y la densidad superficial de carga en la superficie del plano conductor. Encontrar el potencial pedido requiere resolver la ecuación de Poisson en la región z > 0 con las condiciones de contorno V = 0 en z = 0 y en el infinito, lo cual es complicado. (x,y,z) r1 r2 X Y Z Sustituimos el plano conductor por una carga imagen –Q situada en la posición (0,0,-z0). Esto no cambia el potencial en la región z > 0 ni las condiciones de contorno. +Q -Q +Q z0 -z0 z0 Véase que en todos los puntos del plano XY (z = 0) se cumple la condición V(x,y,0) = 0 y también se cumple V = 0 en el infinito. De acuerdo con el teorema de unicidad, esta es por tanto la solución correcta.

PROBLEMA 1 (Continuación) Cálculo de la densidad superficial de carga: primero determinamos el campo eléctrico en z ≥ 0 Recordemos que las condiciones de frontera para el campo eléctrico en la superficie de separación conductor espacio libre son En la superficie de separación entre el plano conductor y resto el vector superficie está dirigido según la dirección Z, por lo tanto El método de imágenes es válido únicamente para la región en la que no se encuentran las cargas imágenes. Por eso no se puede emplear en este problema para calcular campo y potencial en la región z < 0. En dicha zona el potencial es nulo (pues el plano conductor está conectado a tierra) y el campo también.

PROBLEMA 2. Una carga positiva Q está situada en el vacío a una distancia a de un semiespacio homogéneo e infinito de constante dieléctrica K. Determine el potencial en cualquier punto del espacio (dentro y fuera del dieléctrico). El dato de la constante dieléctrica nos da la permitividad , pues Aplicaremos el método de imágenes sustituyendo el vacío y el dieléctrico por cargas equivalentes de manera que se cumplan las condiciones de contorno. +Q a VACÍO Sistema real DIELÉCTRICO +Q a VACÍO a Q1 VACÍO DIELÉCTRICO Q2 a DIELÉCTRICO ≡ + (1) (2) Sustituiremos el sistema real por la suma de los dos siguientes: 1. Sustituimos el dieléctrico por vacío colocando en su lugar una carga Q1 a la distancia a 2. Sustituimos el vacío por dieléctrico colocando en lugar del vacío una carga Q2 a la distancia a Obtendremos el potencial en cualquier punto del espacio por superposición de estos dos sistemas una vez hayamos impuesto las mismas condiciones de contorno.

≡ + PROBLEMA 2 (Continuación) +Q a Q1 (1) Q2 (2) r1 r r2 VACÍO Sistema real DIELÉCTRICO ≡ Q1 + (1) Q2 (2) r1 r r2 Potencial en (1): el potencial en un punto situado en la mitad izquierda, a la distancia r de Q y a la distancia r1 de Q1 es: Potencial en (2): el potencial en un punto situado en la mitad derecha, a la distancia r2 de Q2 es: En la frontera entre ambos medios el potencial tiene que ser continuo, así que Particularizando para el punto situado entre la carga y su imagen:

+ PROBLEMA 2 (Continuación) La ecuación es una condición a cumplir por las cargas imágenes como consecuencia de la continuidad del potencial al pasar de un medio a otro; para poder expresar las cargas imágenes en función de Q debemos obtener una relación más entre ellas. Veamos el valor del desplazamiento eléctrico en un punto arbitrario de la frontera. Continuidad de las componentes normales del desplazamiento: +Q a VACÍO Q1 + (1) DIELÉCTRICO Q2 (2)  d  d SISTEMA DE ECUACIONES QUE PERMITE OBTENER LAS CARGAS IMAGEN EN FUNCIÓN DE Q: COMPONENTES NORMALES

PROBLEMA 2 (Continuación) Q1 < 0 Potencial en (1): el potencial en un punto situado en la mitad izquierda, a la distancia r de Q y a la distancia r1 de Q1 es: Potencial en (2): el potencial en un punto situado en la mitad derecha, a la distancia r2 de Q2 es:

PROBLEMA 3. Consideremos una distribución lineal de carga  de longitud infinita situada paralelamente a una distancia d del eje de un cilindro conductor infinito de radio a. a) ¿Cuál es la carga imagen que permite resolver el problema del potencial en el espacio situado fuera del conductor?. b) Si la distribución de lineal carga se considera origen de coordenadas, y d = 2a, determinar y representar gráficamente el potencial en cualquier punto de los semiejes positivos X e Y. Requisitos a cumplir por una solución válida: 1. La imagen debe ser una distribución lineal de carga paralela (que llamaremos i) dentro del cilindro de modo que la superficie cilíndrica en r = a sea equipotencial. CORTE TRANSVERSAL 2. Por la simetría del problema la distribución lineal imagen i debe estar situada en la línea entre el centro del cilindro y . a  Ensayaremos una solución que cumpla la condición i = - y cuya distancia di al eje del cilindro habrá que determinar. d Si esa solución cumple todas las condiciones de frontera, el teorema de unicidad nos permite asegurar que dicha solución será única. El potencial eléctrico a una distancia r de una distribución lineal infinita de carga puede obtenerse integrando su campo eléctrico (el cual puede obtenerse aplicando el Teorema de Gauss) d  di i O (El punto de referencia r0 no puede estar en el infinito, por ahora queda sin especificar)

Pi se denomina punto inverso de P respecto de un círculo de radio a. PROBLEMA 3 (Continuación) El potencial en los puntos de la superficie cilíndrica y los puntos exteriores se obtiene sumando la contribución de la distribución lineal de carga y de su imagen. Elegimos como referencia de potencial nulo un punto equidistante de  y i, para que de este modo se cancelen los términos ln r0 y ln r0i Consideremos un punto M sobre la superficie del cilindro. Véase que las superficies equipotenciales son aquellas en que pues así VM = constante Para que la superficie cilíndrica sea equipotencial se requiere que el punto Pi esté colocado de tal forma que los triángulos OMP y OMPi sean semejantes. El ángulo  es común a ambos triángulos.  Situando Pi de modo que el ángulo señalado como  sea igual en ambos triángulos, el tercer ángulo también será igual, los triángulos serán semejantes y se cumplirá que: M d  di i O  a ri r P Pi Pi se denomina punto inverso de P respecto de un círculo de radio a. Véase que con el valor calculado para di aunque la posición de M cambie sobre el contorno del cilindro (línea punteada), se sigue cumpliendo que ri/r = cte y el cilindro sigue siendo una superficie equipotencial. Concluimos que, de acuerdo con el teorema de unicidad, si sustituimos el cilindro conductor por una imagen consistente en una distribución lineal indefinida de carga - situada a la distancia di, resolvemos el problema.

PROBLEMA 3 (Continuación) Elegimos como referencia de potencial nulo un punto equidistante de  y i, para que de este modo se cancele ln r0. d  di - O a ri r x d  di - O a ri r y

Sustituimos la esfera por las cargas imágenes qi1, qi2. PROBLEMA 4. Dos carga puntuales +q están separadas una distancia 2d. Entre ambas se coloca una esfera metálica conectada a tierra, de modo que su centro coincida con el punto medio del segmento rectilíneo que une las cargas. Determinar el radio a de la esfera de modo que no haya fuerza entre las cargas. Sustituimos la esfera por las cargas imágenes qi1, qi2. Llamamos q1 y q2 a las cargas para distinguirlas según su posición (q1 = q2 = q) 2d a di1 di2 O q1 q2 qi1 qi2 Fuerza sobre la carga q1 d1=d d2=d Si no hay fuerza entre cargas F1 = F2 = 0 Al ser d>a, a4<<d4 y por tanto a4 es despreciable como sumando frente a d4.