Estadística 2009 Maestría en Finanzas Universidad del CEMA Profesor: Alberto Landro Asistente: Julián R. Siri

Clase 9 1. Ejercicios de procesos AR

1. Ejercicios de procesos AR Dado un proceso AR(1): Vamos a: Expresar el proceso con la notación de operadores autorregresivos. Hallar la media, varianza y autocovarianzas. Analizar las condiciones de estacionariedad. Hallar las funciones de autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales. Graficarlas.

1. Ejercicios de procesos AR Expresión del proceso con la notación de operadores autorregresivos:

1. Ejercicios de procesos AR Hallar la media, varianza y autocovarianzas. Aplicamos inicialmente el operador esperanza matemática, Ahora bien, dado que Entonces

Ejercicio 1) Hallar la media, varianza y autocovarianzas. 1. Ejercicios de procesos AR Ejercicio 1) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.

1. Ejercicios de procesos AR Hallar la media, varianza y autocovarianzas. Para el análisis de la varianza y las covarianzas del proceso, primero centraremos las variables, y hay que tener en cuenta que:

1. Ejercicios de procesos AR Hallar la media, varianza y autocovarianzas. Entonces, el cálculo de la varianza es:

1. Ejercicios de procesos AR Ejercicio 1) Hallar la media, varianza y autocovarianzas. El cálculo de las covarianzas del proceso resulta:

1. Ejercicios de procesos AR Ejercicio 1) Hallar la media, varianza y autocovarianzas. Puede deducirse fácilmente que la regla general, para el cálculo de la autocovarianza de orden k, es:

1. Ejercicios de procesos AR Ejercicio 1) c) Análisis de las condiciones de estacionariedad. Dado que la varianza del proceso ha de ser positiva y finita, el coeficiente , en valor absoluto, tiene que ser menor a la unidad: CONDICIÓN DE ESTACIONARIEDAD:

1. Ejercicios de procesos AR Ejercicio 1) c) Hallar la función de autocorrelación. Dada la generalización de las autocovarianzas, podemos encontrar una expresión general de la función de autocorrelación (FAC):

Ejercicio 1) c) Hallar la función de autocorrelación parcial. 1. Ejercicios de procesos AR Ejercicio 1) c) Hallar la función de autocorrelación parcial.

1. Ejercicios de procesos AR Un ejercicio para ustedes. Otro proceso AR(1): Desarrollen: Expresar el proceso con la notación de operadores autorregresivos. Hallar la media, varianza y autocovarianzas. Analizar las condiciones de estacionariedad. Hallar las funciones de autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales.

1. Ejercicios de procesos AR Dado un proceso AR(2): Tareas: Expresar el proceso con la notación de operadores autorregresivos. Hallar la media, varianza y autocovarianzas. Hallar las funciones de autocorrelaciones. Analizar las condiciones de estacionariedad.

1. Ejercicios de procesos AR Expresión del proceso con la notación de operadores autorregresivos:

1. Ejercicios de procesos AR Hallar la media, varianza y autocovarianzas. Aplicamos inicialmente el operador esperanza matemática, Ahora bien, dado que Entonces

Ejercicio 3) Hallar la media, varianza y autocovarianzas. 1. Ejercicios de procesos AR Ejercicio 3) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.

1. Ejercicios de procesos AR Hallar la media, varianza y autocovarianzas. Para el análisis de la varianza y las covarianzas del proceso, una vez más centramos las variables ( ) y tenemos en cuenta que:

1. Ejercicios de procesos AR Hallar la media, varianza y autocovarianzas. Entonces, el cálculo de la varianza es:

1. Ejercicios de procesos AR Ejercicio 3) Hallar la media, varianza y autocovarianzas. El cálculo de las covarianzas del proceso resulta:

1. Ejercicios de procesos AR Ejercicio 3) Hallar la media, varianza y autocovarianzas. Puede deducirse fácilmente que la regla general, para el cálculo de la autocovarianza de orden k (>2), es:

Ejercicio 3) c) Hallar las funciones de autocorrelaciones. 1. Ejercicios de procesos AR Ejercicio 3) c) Hallar las funciones de autocorrelaciones.

Ejercicio 3) c) Hallar las funciones de autocorrelaciones. 1. Ejercicios de procesos AR Ejercicio 3) c) Hallar las funciones de autocorrelaciones.

1. Ejercicios de procesos AR Ejercicio 3) d) Analizar las condiciones de estacionariedad. Respecto a la condición de estacionariedad del AR(2), dado que la varianza del proceso es mayor que cero, deberán ser numerador y denominador del mismo signo, por lo que se debe cumplir:

1. Ejercicios de procesos AR Ejercicio 3) d) Analizar las condiciones de estacionariedad. Si dividimos a todo por , nos queda:

1. Ejercicios de procesos AR Ejercicio 3) Entonces:

1. Ejercicios de procesos AR Considere el siguiente modelo: Tareas: Expresar el proceso con la notación de operadores autorregresivos. Hallar la media, varianza y autocovarianzas. Hallar las funciones de autocorrelaciones. Analizar las condiciones de estacionariedad.

1. Ejercicios de procesos AR Considerando el modelo: Tareas: Hallar la media del proceso. Expresar el modelo en forma de desvíos. Verificar si se cumple la condición de estacionariedad. Hallar la varianza y covarianza del proceso. Hallar la función de autocorrelación. Si es igual a 35, ¿qué podemos decir respecto de ? ¿Y qué podría decirse en cambio si el valor de fuese –0.8? Si en el proceso anterior , ¿qué puede decir respecto de ?

1. Ejercicios de procesos AR En un modelo AR(2) se obtuvo: Tareas: Calcular los parámetros y . Analizar las condiciones de estacionariedad. Calcular la función de autocorrelación.