Procesamiento Digital de Señales Tema 5: Introducción al diseño de filtros digitales Procesamiento Digital de Señales Ing. Jorge Enrique Montealegre jorge.montealegre@unad.edu.co

Introducción al diseño de filtros digitales Diseño de filtros IIR Diseño de filtros FIR

1. Diseño de Filtros IIR El problema es determinar los coeficientes requeridos por la ecuación diferencial lineal para realizar la síntesis. Las estructuras resultantes se conocen como filtros digitales. Clasificados en: - Filtros de respuesta infinita al impulso unitario (IIR) - Filtros de respuesta finita al impulso unitario (FIR) Los filtros IIR emplean estructuras recursivas, mientras los filtros FIR emplean estructuras no recursivas. En el diseño de filtros IIR se parte de una función de transferencia analógica H(s) para determinar el sistema discreto H(z) para lo cual se emplean técnicas del dominio del tiempo o de la frecuencia.

Síntesis en el dominio del tiempo Diseño invariante al impulso. ha(t) Filtro analógico Muestreador ha(n) δ(t) Secuencias idénticas Invarianza al impulso equivalente Fuente de señales x(t) = δ(t) Muestreador Filtro digital h(n)

Para ilustrar esta técnica asumimos que la función de transferencia de un filtro analógico tiene m polos reales distintos: Aplicando la transformada inversa de Laplace tenemos para la respuesta al impulso del filtro analógico. La transformada Z de la respuesta al impulso unitario es Sustituyendo tenemos

Intercambiando sumatorias, sumando en n y con convergencia geométrica tenemos: Este filtro tiene una respuesta equivalente a la respuesta al impulso muestreada del filtro analógico del cual se derivó. La respuesta al impulso del filtro digital debe multiplicarse por T = 1/fs para aproximarse a la amplitud de la respuesta al impulso del filtro analógico. Así, la función de transferencia queda:

Σ K1 z-1 Σ Σ X(z) Y(z) T K2 z-1 Σ Km z-1

Diseñar un filtro digital invariante al impulso a partir de la siguiente función de transferencia.

Síntesis general invariante en el tiempo. Entrada: Dominio t: x(t) Dominio s: Xa(s) Salida: Dominio t: y(t) = x(t)*ha(t) Dominio s: Y(s) = Xa(s)Ha(s) Filtro analógico ha(t), Ha(s) Invariantes equivalentes en el dominio del tiempo Muestras Muestras Entrada: Dominio t: x(n) Dominio z: X(z) Salida: Dominio t: y(n) = x(n)*h(n) Dominio z: Y(z) = X(z)Ha(z) Filtro digital h(nT), H(z)

Los coeficientes del filtro que determinan H(z) se ajustan hasta que la salida muestreada del filtro analógico corresponda a la salida del filtro digital. La H(z) requerida se determina de la siguiente forma: Las muestras de salida del filtro digital son: La transformada Z de esta cantidad es: La constante G se ha incluido para proporcionar respuestas de frecuencia similares entre filtros. La ecuación general de la síntesis es entonces:

Para la invarianza al impulso se emplea: X(z) = Xa(s) = 1 y G = T De modo que la ecuación de síntesis queda: Otro procedimiento empleado para la síntesis de filtros digitales que usen un criterio del dominio del tiempo es el procedimiento de invarianza al escalón unitario. Donde : Xa(s) = 1/s, G = 1 y X(z)=1/(1-z-1) Lo que da como resultado

Diseñar un filtro digital invariante al escalon a partir de la siguiente función de tranferencia.

Diseño en el dominio de la frecuencia La transformada z bilineal. Esta técnica resuelve el problema de aliasing que presentan los métodos de invarianza en el tiempo pues no necesita la transformada inversa de Ha(s). La función de transferencia del filtro analógico se limita en su ancho de banda: Como una función de transferencia analógica no satisface esta propiedad, debe modificarse con transformaciones no lineales para limitarla en banda. La técnica consiste en transformar todo el plano complejo s, en un plano s1 tal que todo el eje jω en el plano s se traslada en el plano s1 a la región:

Una de las transformaciones que satisface este requisito es: La constante C se puede escoger de modo que se pueda establecer la correspondencia ω = ω1 para cualquier frecuencia. Por ejemplo, si ω = ω1 = ωr tenemos Para una ωr pequeña tal que tendremos

La respuesta dc del filtro digital con transformación bilineal z es siempre igual a la respuesta dc del filtro analógico del cual se derivó. El filtro digital se detemina a partir de Ha(s1) siendo Entonces se establece la siguiente relación: El filtro digital H(z) se determina a partir del filtro analógico Ha(s1) simplemente sustituyendo para s en Ha(s)

Diseñar el filtro digital equivalente al filtro Butterworth de segundo orden paso bajas, con ancho de banda de 3 dB de ωc rad/s. Un integrador analógico está definido por Ha(s) = 1/s. Obtener el integrador digital con C = 2/T.

La transformada z bilineal en filtros paso-banda. Un filtro paso-banda se puede generar a partir de un filtro paso-bajas sustituyendo s en la función del sistema por ωc es el centro geométrico de la frecuencia y ωb es el ancho de banda del filtro paso-banda. El filtro digital es entonces generado reemplazando s por Simplificando Donde

El problema es determinar los valores apropiados de A y B. Dado que ωc es la frecuencia geométrica, ésta es Donde ωu y ωl son las frecuencias críticas superior e inferior. Tenemos entonces que: Reconociendo que Tal que rx = fx/fs llegamos a

Diseñar el filtro digital paso banda si fs = 5 kHz, fu = 1 kHz y fl = 500 Hz a 3 dB si

2. Diseño de Filtros FIR Para el diseño de filtros FIR partimos de la respuesta a la frecuencia deseada. Por lo tanto, es posible diseñar filtros digitales que no tengan un prototipo analógico equivalente. Un filtro FIR puede diseñarse expandiendo la respuesta a la amplitud deseada en una serie de Fourier y desplazando la respuesta al impulso unitario hasta tener un filtro causal. En general, una representación exacta de la respuesta a la frecuencia deseada no es posible con un número finito de términos, y la serie de Fourier debe truncarse para tener un filtro útil, por lo que obtenemos solo una aproximación.

Diseñar un filtro FIR digital con la siguiente función de transferencia Donde r es la frecuencia normalizada definida como r = f/fs

Filtros FIR: Técnica de diseño general. De manera general podemos escribir: Sea 2πr = ω entonces Multiplicando por ej2πlr e integrando para un periodo tenemos Como

Tenemos Reemplazando n por l hd(n) representa la respuesta al impulso unitario de un filtro digital no causal respondiendo a la frecuencia deseada. En este punto se presentan dos problemas: 1. El filtro digital es no causal. Esto se soluciona desplazando la respuesta hasta que sea causal, pero debe ser la respuesta de extensión finita. 2. A menos que la respuesta pueda expresarse en un número finito de términos, los coeficientes deben truncarse, lo que introduce cierto error.

Truncar los coeficientes nos produce Otra manera de truncar es: Donde wr(n) es una función ventana rectangular definida por Cuya transformada de Fourier es:

Filtros causales. Un filtro causal Hc(z) se puede generar a partir de Hnc(z) multiplicando esta última por z-M con lo que tenemos: Si k = n + M Si definimos los pesos del filtro causal como Lk, donde Tendremos

Su implementación y respuesta al impulso del FIR es: Σ X(z) Y(z) L0 z-1 L1 z-1 Lk L2 L4 L1 z-1 L0 LM L2M-1 L3 L2 L2M-2 L2M k z-1 0 1 2 3 4 M 2M-1 2M L2M

Sumario de diseño. Se selecciona una frecuencia de muestreo, considerando el ancho de banda de la señal a procesar, y se define la variable de frecuencia normalizada r. La respuesta a la frecuencia Hd(ej2πr) se expande. Los coeficientes resultantes hd(n) son la respuesta al impulso unitario del filtro no causal y es de extensión infinita. La secuencia hd(n) se hace finita multiplicándola por una función ventana. El resultado, Hnc(z),es la función de transferencia al impulso no causal finita. Hnc(z) se multiplica por z-M con M seleccionada para asegurar que se obtiene de un filtro causal. Adicionalmente pueden calcularse las respuesta a la amplitud y fase para ver si se cumplen las especificaciones establecidas.

Diseñar un diferenciador digital FIR si

Aproximar un filtro ideal paso-bajas usando 17 pesos Aproximar un filtro ideal paso-bajas usando 17 pesos. Se asume que el ancho de banda del filtro es 0.15 fs, con

Considerar un desplazador de fase de 90° conocido como filtro de Hilbert. Realizar su diseño digital si:

Bibliografía Digital Signal Processing: Principles, algorithms and applications J. G. Proakis & D. G. Manolakis. Pearson Education Inc. 3a Ed. 1996.  Introduction to Signals and Systems, D. K. Lindner McGraw Hill, 1999. Signals and Systems: Continuous and Discrete. R. E. Ziemer, W. H. Tranter & D. R. Fannin Prentice Hall, 4a Ed. 1998 Principles of Signals and Systems F. J. Taylor McGraw Hill, 1a Ed. 1994 Signals and Systems A. V. Oppenheim Prentice Hall, 1a Ed. 1993. Analog and Digital Communication Systems M. S. Roden Prentice Hall, 4a Ed. 1996.