UBA XXI

Proposiciones atómicas El sauce perdió sus hojas Hoy es jueves Todos los perros son mamíferos He visto la luna p q r s Las proposiciones que no pueden ser divididas en partes, que sean también proposiciones, se denominan proposiciones atómicas. A cada una de ellas se la traduce, reescribe o formaliza asignándole una letra.

Hay dos valores de verdad: verdadero y falso. p q r s verdadero Falso Hay dos valores de verdad: verdadero y falso.

Valores de verdad para una proposición atómica Verdadero Falso Si consideramos solo una proposición atómica, hay dos posibilidades: que sea verdadera o que sea falsa.

Tabla de verdad p V F Una tabla de verdad representa posibilidades. Para una proposición atómica hay dos posibilidades. Cada posibilidad ocupa una línea de la tabla.

p V F Tabla de verdad Posibilidad 1 Posibilidad 2 Una tabla de verdad representa posibilidades. Para una proposición atómica hay dos posibilidades. Cada posibilidad ocupa una línea de la tabla.

Tabla de verdad Para tablas de verdad de proposiciones complejas formadas por más de una proposición, el primer paso es la asignación de valores de verdad.

Asignación de valores de verdad: dos proposiciones q Posibilidad 1 Posibilidad 2 Posibilidad 3 Posibilidad 4 Considerando dos proposiciones, las posibilidades son cuatro.

Asignación de valores de verdad: dos proposiciones q V V F Posibilidad 1 Posibilidad 2 F V F Posibilidad 3 Posibilidad 4 Con dos proposiciones, las posibilidades son cuatro: que ambas proposiciones sean falsas, que ambas sean verdaderas, que la primera sea verdadera y la segunda falsa y que la primera sea falsa y la segunda verdadera.

Asignación de valores de verdad: tres proposiciones. p q r Posibilidad 1 Posibilidad 2 Posibilidad 3 Posibilidad 4 Posibilidad 5 Posibilidad 6 Posibilidad 7 Posibilidad 8 Considerando tres proposiciones, las posibilidades son ocho.

Asignación de valores de verdad: tres proposiciones p q r Posibilidad 1 V V V Posibilidad 2 V V F Posibilidad 3 V F V Posibilidad 4 V F F Posibilidad 5 F V V Posibilidad 6 F V F Posibilidad 7 F F V Posibilidad 8 F F F Considerando tres proposiciones, las posibilidades son ocho.

Asignación de valores de verdad: más de tres proposiciones Con una proposición, las posibilidades son: 2 Con dos proposiciones, las posibilidades son: 4 Con tres proposiciones, las posibilidades son: 8 Con cuatro proposiciones, las posibilidades son: 16 Con un número n de proposiciones, las posibilidades son: 2x2 n veces Es decir El número de posibilidades, y en consecuencia el número de filas de la tabla de verdad que las representa, es función de la cantidad de valores de verdad (que son dos, V y F) y del número de proposiciones considerado (que puede ser cualquier número n que elijamos).

Tablas de verdad de las conectivas 𝑝 𝑞 ~𝑝 𝑝∙𝑞 𝑝∨𝑞 𝑝→𝑞 𝑝↔𝑞 v f Para solucionar las tablas de verdad, deben recordar las tablas de verdad de las conectivas.

Resolución de una tabla de verdad de dos proposiciones (𝑝 . 𝑞) ∨ ∼𝑝 El primer paso para resolver una tabla de verdad consiste, como decíamos, en asignar los valores de verdad de acuerdo con el número de proposiciones.

Resolución de una tabla de verdad de dos proposiciones 𝑝 𝑞 (𝑝 . 𝑞) ∨ ∼𝑝 v f En este caso tenemos dos proposiciones, con lo cual la tabla de verdad tendrá cuatro filas.

Resolución de una tabla de verdad de dos proposiciones 𝑝 𝑞 (𝑝 . 𝑞) ∨ ∼𝑝 v f Ahora comenzamos a resolver la tabla, apelando a las tablas de las conectivas, empezamos por lo que se encuentra dentro de los paréntesis y por las proposiciones negadas.

Resolución de una tabla de verdad de dos proposiciones 𝑝 𝑞 (𝑝 . 𝑞) ∨ ∼𝑝 v f Ahora comenzamos a resolver la tabla, apelando a las tablas de las conectivas, empezamos por lo que se encuentra dentro de los paréntesis y por las proposiciones negadas.

Resolución de una tabla de verdad de dos proposiciones 𝑝 𝑞 (𝑝 . 𝑞) ∨ ∼𝑝 v f Ahora comenzamos a resolver la tabla, apelando a las tablas de las conectivas, empezamos por lo que se encuentra dentro de los paréntesis y por las proposiciones negadas.

Resolución de una tabla de verdad de dos proposiciones 𝑝 𝑞 (𝑝 . 𝑞) ∨ ∼𝑝 v f Una vez hecho esto, debemos solucionar la disyunción final, que es la conectiva principal de la proposición; entonces comparamos los valores de verdad de las proposiciones complejas: la conjunción por una parte y la negación de p por otra (marcadas con azul).

Resolución de una tabla de verdad de dos proposiciones 𝑝 𝑞 (𝑝 . 𝑞) ∨ ∼𝑝 v f Una vez hecho esto, debemos solucionar la disyunción final, que es la conectiva principal de la proposición; entonces comparamos los valores de verdad de las proposiciones complejas: la conjunción por una parte y la negación de p por otra (marcadas con azul).

Resolución de una tabla de verdad de dos proposiciones 𝑝 𝑞 (𝑝 . 𝑞) ∨ ∼𝑝 v f El resultado de la tabla de verdad (marcado en rojo) se encuentra debajo de la conectiva principal de la proposición, que en este caso es una disyunción. Como tiene los dos tipos de valores de verdad, esta forma de proposición es una contingencia.

Resolución de una tabla de verdad de tres proposiciones [(∼𝑝 → 𝑞) ∨ 𝑟] 𝑝 La mecánica para resolver una tabla de tres proposiciones es la misma. Primero, entonces, asignamos los valores de verdad a las diferentes proposiciones. En este caso serán ocho filas.

Resolución de una tabla de verdad de tres proposiciones 𝑝 𝑞 𝑟 [(∼𝑝 → 𝑞) ∨ 𝑟] v f Se distribuyen los valores según vimos antes en esta presentación.

Resolución de una tabla de verdad de tres proposiciones 𝑝 𝑞 𝑟 [(∼𝑝 → 𝑞) ∨ 𝑟] v f Luego, ponemos los valores de verdad en las proposiciones simples negadas (en rojo). Pueden repetir los valores asignados debajo de cada proposición (en azul), si les parece más fácil.

Resolución de una tabla de verdad de tres proposiciones 𝑝 𝑞 𝑟 [(∼𝑝 → 𝑞) ∨ 𝑟] v f Ahora, solucionamos lo que se encuentra dentro del paréntesis apelando, en este caso, a la tabla del condicional (en azul).

Resolución de una tabla de verdad de tres proposiciones 𝑝 𝑞 𝑟 [(∼𝑝 → 𝑞) ∨ 𝑟] v f Ahora, debemos solucionar la conectiva principal de la proposición entre corchetes, comparando los valores de verdad de la disyunción (en azul). Para no confundirse, pueden ir tachando lo que ya utilizaron.

Resolución de una tabla de verdad de tres proposiciones 𝑝 𝑞 𝑟 [(∼𝑝 → 𝑞) ∨ 𝑟] v f La solución de la disyunción se encuentra en rojo.

Resolución de una tabla de verdad de tres proposiciones 𝑝 𝑞 𝑟 [(∼𝑝 → 𝑞) ∨ 𝑟] v f Ahora, debemos solucionar el valor de verdad de la conectiva principal de la proposición, que en este caso es un condicional. Para eso, debemos comparar los valores en azul.

Resolución de una tabla de verdad de tres proposiciones 𝑝 𝑞 𝑟 [(∼𝑝 → 𝑞) ∨ 𝑟] v f El resultado de la tabla se encuentra en rojo. Como puede verse, también se trata de una contingencia. Si en el resultado fuesen todos verdaderos, sería una tautología, si fuesen todos falsos, una contradicción.

¡Importante! ~𝑝 . 𝑞 ~ (𝑝 𝑞) Es importante distinguir entre estas proposiciones. En la primera, la negación afecta solo a p, mientras que en la segunda se niega toda la conjunción. Realicemos las tablas de verdad.

¡Importante! 𝑝 𝑞 ~𝑝 . ~ (𝑝 𝑞) v f Primero asignamos los valores.

¡Importante! 𝑝 𝑞 ~𝑝 . ~ (𝑝 𝑞) v f A continuación, resolvemos la primera proposición empezando por las proposiciones atómicas negadas (en azul).

¡Importante! 𝑝 𝑞 ~𝑝 . ~ (𝑝 𝑞) v f Ahora resolvemos la conjunción. El resultado de la tabla es una contingencia (en rojo). Pasemos a la segunda tabla.

¡Importante! 𝑝 𝑞 ~𝑝 . ~ (𝑝 𝑞) v f Noten que en este caso no hay ninguna proposición simple negada. Lo primero que hay que resolver aquí es la conjunción (en rojo).

¡Importante! 𝑝 𝑞 ~𝑝 . ~ (𝑝 𝑞) v f Recién ahora podemos resolver la negación. Luego de tachar lo que ya usamos, aplicamos la negación al resultado de lo que se niega. En este caso, lo negado es una conjunción (en azul).

¡Importante! 𝑝 𝑞 ~𝑝 . ~ (𝑝 𝑞) v f Como se puede ver, aunque ambas proposiciones son contingencias, la tabla es distinta y se resuelve de manera diferente. En la confección de una tabla, siempre hay que prestar atención al alcance de la negación.