MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL CON RELAJACIÓN

DEFINICIÓN El método de relajación presenta una ligera modificación al método Gauss-Seidel porque permite mejorar la convergencia, ya que, después de que se calcula cada nuevo valor de x, éste se modifica mediante un promedio ponderado de los resultados anterior y actual.

El  es un factor ponderado que tiene un valor entre 0 y 2.

Si =1, (1  ) es igual a cero por lo tanto el resultado no se modifica y la ecuación se transforma en la ecuación para Gauss-Seidel. Cuando  < 1 el método es conocido como sub-relajación el cual se emplea comúnmente para hacer que un sistema no convergente, converja o apresure la convergencia al amortiguar las oscilaciones. Cuando  > 1 es conocido como sobre-rrelajación; se utiliza cuando la convergencia se mueve en la dirección correcta hacia la solución verdadera, pero con una velocidad demasiado lenta.

La elección de  es especificada por el problema y se determina en forma empírica. Es más usual cuando un sistema en estudio se debe resolver de manera repetitiva. Una buena selección de  ayudará a mejorar significativamente la eficiencia del método. Generalmente, este método no se utiliza para la solución de un solo sistema de ecuaciones.

Ejemplo Emplee el método de Gauss-Seidel con relajación para resolver (=0.90 y a = 5%): -5 X1 + 12 X3 = 80 4 X1 – 1 X2 – 1 X3 = - 2 6 X1 + 8 X2 = 45

Si es necesario reordene las ecuaciones para que el sistema converja. Si lo pasamos al formato de una matriz y su vector de resultados, obtenemos lo siguiente:

Verificando el criterio de convergencia: Resolviendo esta ecuación para un sistema de 3 x 3 obtenemos:

Esto quiere decir que el elemento diagonal debe ser mayor al elemento fuera de la diagonal para cada fila. Por tanto reorganizamos el sistema de la siguiente forma:  Ahora se puede asegurar la convergencia con este arreglo.

Las siguientes formulas las utilizamos para encontrar X1, X2 y X3 en cada una de las interacciones.

Para calcular el primer valor de X1, se asumirán X2 y X3 con valores cero. Entonces para X1:

Para calcular el valor de X2 , se utilizará solamente el valor encontrado de X1, dado que a23 es cero.

Para calcular el valor de X3, se utilizará solamente el valor encontrado de X1, dado que a32 es cero.

Para la segunda iteración en el cálculo de X1 el valor de X2 y X3 serán los calculados en la primera iteración, seguidamente se le aplicará la ponderación con el factor . Entonces para X1:

Aplicando la ponderación.

Para la X2 se utiliza solamente el valor X1 de la segunda iteración dado que a23 es cero. Aplicando la ponderación.

Para la X3 se utiliza solamente el valor X1 calculado en la segunda iteración dado que a23 es cero. Aplicando la ponderación.

Una vez obtenidos estos resultados, se debe calcular el error aproximado porcentual para cada uno de los resultados.

Dado que en las tres incógnitas el error aproximado porcentual es mayor a un 5% se debe hacer una nueva iteración. Se continúa realizando el mismo procedimiento con los nuevos valores de X obtenidos hasta que los errores aproximados porcentuales de las tres incógnitas sean menores que el 5%.

Siguiendo el mismo procedimiento se obtiene el siguiente cuadro de resultados Iteración x1 x2 x3 a x1 a x2 a x3 0,00000   1 -0,50000 6,00000 6,45833 2 2,30313 4,10789 7,50951 121,71% 46,06% 14,00% 3 2,39423 3,85719 7,64879 3,81% 6,50% 1,82% 4 2,37827 3,84289 7,65673 0,67% 0,37% 0,10%

Si sustituimos estos valores en las ecuaciones originales para verificar los resultados obtenemos que:

Al calcular los porcentajes de error de estos resultados se obtiene lo siguiente: De acuerdo con estos datos se puede observar que los resultados obtenidos son una aproximación muy buena de los valores verdaderos.