Introducción Se presenta la dualidad en la programación lineal Encontrar el optimo valor de un caso de optimización representa una parte de la solución. A veces es necesario saber el rango de la solución ante variaciones de los parámetros. Es con ello que se enuncia el tema de dualidad. La dualidad en programación lineal implica el estudio de las relaciones del modelo PRIMAL-DUAL A partir de esto, se desarrollara: Todo problema de optimización (primal), tiene un problema asociado (dual) Dualidad ¿ Como se Construye un Problema Dual? Relación entre Primal y Dual Teoremas de la Dualidad Importancia de la Dualidad en programación lineal

Dualidad Resulta de buscar relaciones que permitan obtener información adicional de un problema de optimización general 1 Esta búsqueda conduce a relaciones Primal-Dual Al tener un caso de optimización (primal), se tiene un caso asociado (dual) con numerosas propiedades que los relacionan 2 Por una Maximización existirá una minimización y viceversa

¿ Como se Construye un Problema Dual? Teniendo un problema lineal, se puede encontrar su dual de la siguiente manera: a Si es un caso de minimización su dual será de maximización y viceversa b En el dual habrá tantas variables como restricciones y tantas restricciones como variables en el primal c Los coeficientes de la función objetivo del dual pertenecen a los coeficientes del lado derecho de las restricciones del primal. Min 70 x x x 3 s.a. 3x 1 + 3x 2 +4x 3 ≥ 5 2x 1 +x 2 +3x 3 ≥ 3 x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0 Primal Función objetivo Max 5y 1 +3y 2 Dual Función objetivo Restricciones

¿ Como se Construye un Problema Dual? Teniendo un problema lineal, se puede encontrar su dual de la siguiente manera: f e d Los coeficientes lado derecho del dual vendrán dados por los coeficientes de la función objetivo del primal. Los coeficientes de las variables en una restricción del dual son los coeficientes que acompañan a la variable primal. ( se realiza una transposición, la primera columna pasa hacer primera fila y así sucesivamente ) Ahora, para saber si las restricciones y variables duales son de ≤, = ´o ≥, se recurre a la tabla de relaciones primal-dual. Min 70 x x x 3 s.a. 3x 1 + 3x 2 +4x 3 ≥ 5 2x 1 +x 2 +3x 3 ≥ 3 x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0 Primal Función objetivo Max 5y 1 +3y 2 s.a. 3y 1 + 2y 2 ≤ 70 3y 1 + y 2 ≤ 140 4x 3 + 3x 3 ≤ 220 y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0 Dual Función objetivo Restricciones d e e

Relación entre Primal y Dual Las relaciones que se presentan a continuación permiten pasar de un problema primal a su dual en forma algorítmica, en los problemas de optimización. Nota: esta relación corresponde al paso de la pág anterior. f

Teoremas de la Dualidad 1 Teorema de existencia Para que un caso de programación lineal tenga solución es que, el conjunto de oportunidades del primal (S) como el conjunto de oportunidades del dual (S’) no sean vacíos La condición necesaria y suficiente Diferentes casos posibles Ambos problemas tienen solución El programa primal es infactible, y el programa dual es no acotado. El programa dual es infactible, y el programa primal es no acotado. Ambos problemas son infactibles.

Teoremas de la Dualidad 2 La condición necesaria y suficiente para que exista solución óptima del primal (x*), es que exista una solución óptima para el dual (λ*) y que valor de la función objetivo de ambos sea igual, es decir Z(x* ) = G(λ* ). Teorema fundamental de dualidad Sol. Función objetivo= 5 Resolviendo por el método grafico se obtiene: Punto de vértice solución: (4/5,3/5). Sustituyendo en la función objetivo dual, se tiene un valor de 5. Se cumple el teorema fundamental de dualidad Primal Dual Ejemplo

Teoremas de la Dualidad 3 La condición necesaria y suficiente para que (x*, λ* ) sean soluciones óptimas del programa primal y dual, es que satisfagan las condiciones de holgura complementaria: Teorema de holgura complementaria ( c - λ* A ) x* = 0 λ* ( b - A x* ) = 0 Ejemplo Sol: x= 14/5 y= 8/5 Valor optimo V(p)= 20,8 Método grafico Primal Dual Planteamiento del teorema de holgura Nota: Si se sustituye los valores de “x” e “y” del primal en la tercera y cuarta ecuación del planteamiento de holgura se tiene un sistema de ecuaciones para hallar A y B, siendo la solución optima del dual. Dichos valores de A y B se sustituyen en la función objetivo del dual y se obtiene la solución del problema.

Teoremas de la Dualidad 3 Teorema de holgura complementaria Desarrollando el ejemplo anterior : x= 14/5 y= 8/5Con Del primal (2X + 4Y-12) A= 0 (4X+3Y-16)B=0 (2A+4B-4)(14/5) =0 (4A+3B-6)(8/5) =0 (2X + 4Y-12) A= 0 (4X+3Y-16)B=0 (28/5)A+(56/5)B -56/5 =0 (32/5)A+(24/5)B -48/5= 0 multiplica (2X + 4Y-12) A= 0 (4X+3Y-16)B=0 (28/5)A+(56/5)B = 56/5 (32/5)A+(24/5)B = 48/5 Se ordena en forma de sistema de ecuaciones Resolviendo por método de eliminación A= 6/5, B= 2/5 solución óptima del modelo dual

Teoremas de la Dualidad 3 Teorema de holgura complementaria Continuación el ejemplo anterior Sustituyendo A y B en la función objetivo dual 12 (6/5)+ 16 (2/5) 72/5 + 32/5 104/5 ≈ 20,8 Sol: x= 14/5 y= 8/5 Valor optimo V(p)= 20,8 Método grafico Primal Siendo A=6/5 y B=2/5 una solución factible para el problema dual Se cumple el teorema de dualidad utilizando el teorema de holgura ya que en ambos casos se obtuvo el mismo valor optimo Dual

Importancia de la Dualidad en programación lineal La importancia de la dualidad en la programación lineal radica en que es un método de solución ante casos o problemas de optimización. Al aplicar los criterios y teoremas de dualidad en muchos casos puede resultar ventajoso desde el punto de vista de calculo. El objetivo de la dualidad esta basado en los indicadores económicos: precios duales y costos reducidos. Su utilización permite el entendimiento del modelo como un sistema económico de entrada- salida y para análisis de sensibilidad o posóptimo

Conclusión La dualidad permite resolver problemas lineales donde el numero de restricciones es mayor que el numero de variables. Los valores de las variables duales en el optimo tienen una interpretación importante en problemas de programación lineal Permite comprender como cambia la solución óptima de un problema cualquiera cuando cambian las constantes del modelo matemático. Desde un punto de vista personal y analítico, la dualidad: Para un modelo primal, existe un modelo dual. El valor optimo de un modelo es el mismo para el otro.

Fuentes bibliográficas Taha. (1998). Investigación De Operaciones. Prentice Hall & IBD. (S/f-b). Edu.ve. df?forcedownload=1 df?forcedownload=1 (S/f-c). Edu.ve. pdf?forcedownload=1 pdf?forcedownload=1 Tutoriales, G. E. O. (2011, agosto 14). Teorema de Holguras Complementarias: Dualidad en Programación Lineal. Gestión de Operaciones. complementarias-dualidad-en-programacion-lineal/ complementarias-dualidad-en-programacion-lineal/